對一類構造基本不等式的解題反思

李帶兵

摘 要：基本不等式在課程標準中的要求是C級的，它是高考中的考查熱點，常作為壓軸題出現. 有一類關于構造基本不等式的題型在這種問題中屬于難點問題，不易克服；但如果尋根探源，不難發現復雜的問題背后隱藏著一個非常簡單的本質.

關鍵詞：基本不等式；構造思想；解題；反思

數學的美麗不僅在于它的邏輯性，而且在于它的漸變性. 一道難的問題，往往隱含著一個非常簡單的本質. 基本不等式常作為高考填空題的壓軸選項，而難倒了各路“英雄”. 在這類題目中有一類關涉構造基本不等式的題型，常見于各大調研考試的試卷或各省的高考試卷中，對于它的歸納與總結有利于學生掌握這類問題的處理方式.

調研試題，引發反思

眾所周知，基本不等式中有最值定理，簡單點講即和為定值積有最大值；積為定值和有最小值. 但作為高考和各大市壓軸的填空題出現的基本不等式，往往就不是最值定理的運用那么簡單.它需要挑戰學生思維的靈活性，往往會有構造思維在其中的運用. 蘇州市2015屆高三第一學期期末考試的一道有關基本不等式的壓軸填空題，引發了筆者對構造定值類的基本不等式的解題反思.

例1 已知a，b為正實數，且a+b=2，則+的最小值為__________.

解析：從表達式直觀看來，并不存在和為定值或積為定值的形式，因此解決問題首先需要對表達進行相關處理.根據分式的性質可知，當分子項的最高次數大于等于分母的最高次數時，可以采用常數分離的數學方法處理. 化簡后表達式為1++，根據基本不等式的最值定理可知，表達式有最小值，必須存在積為定值. 因此解題的關鍵轉化為構造表達式中積為定值.

反思：在求解最小值的整個過程中，由于兩式分母之和a+b+1=3，所以將+乘以a+b+1再除以3，跟原表達式等價，展開后可得到2+，兩式這積為定值，根據基本不等式的最值定理，可求最小值. 能夠這樣處理的原因，在于兩式分母之和為常數，因此，在解決諸如此類的問題可研究表達式的分母是否為常數，若為常數即可做乘以分母之和這樣的處理，以構造積為定值.

尋找源頭，探究根本

對于這類構造基本不等式的題型，有著深刻的理論基礎和最本質的題目源頭；它有理論根據可依，有規律可循，因此可按照規律總結根本的解題策略和步驟.

1. 尋找題目源頭，發現解題理論依據

重新審視上述問題解決的關鍵步驟：1++=1+

（a+b）=2++，通過這1的代換來構造+的形式. +這種形式最突出的特點是兩項之積為定值，對于積為定值的情況，可用基本不等式的最值定理求解最小值. 可以說上述調研試題是這種1的代換逐步演變過來的，1的代換是上述調研試題的原型. 兩者所不同的是課本的例題是1的直接代換，而這道調研試題需要利用題設所給條件構造1. 因此，利用1的代換，構造和為定值或積為定值是突破這類問題的關鍵點.

在基本不等式中存在兩類最值定理，即和為定值時積有最大值；積為定值時和有最小值.所謂和為定值時積有最大值是指“若正數x，y滿足x+y=p，則xy有最大值”；所謂積為定值時和有最小值是指“若正數x，y滿足xy=p，則x+y有最小值2”. 反思這整個解題過程，不難發現解決這類問題最終的步驟都脫離不了基本不等式的最值定理，因此如果將1的代換看成是這類問題解決的突破口，那么最值定理就可以看成解決這類問題的最終的手段.

窺視問題本質，總結解題策略方法

透過上述理論分析，我們可以斷定形如調研試題的問題的本質就是1的代換，我們的策略就是通過給目標表達乘以一個代表1的數學表達式，從而將目標表達式轉化成乘積為定值的兩個式子這和. 對于這種本質的認識可以將其抽象成這樣的數學語言：“正數x，y滿足x+y=k，那么形如+的最小值可通過如下構造的方式來求解，即+=

針對上述有關問題本質方面的認識，可以將這類問題的解題步驟具體歸納為如下幾步：首先，對待求表達式，進行變形，常用的處理方式有常數分離、利用分式的性質將分子的表達式除到分母上；第二，觀察變形后的表達式的兩項的分母之和是否為常數，若不是常數，則根據分母的式子，調整題設中所給的定值表達式；第三，將變形后的待求表達式與調整后的定值表達式相乘，并調整系數；第四，利用基本不等式的最值定理求解待求表達式的最小值.

能力拓展，知識遷移

理論總結的目的是為了更好解決問題，但它也僅僅是抽象出了一種簡易的模型，真實的問題是多變的，它或多或少與抽象的數學模型有些差距，要真正掌握處理這類問題的技能，需要用實際問題來鍛煉自己思維.

1. 變式一：定值表達式為分式

例2 （鎮江市2015屆第一學期期末考試）已知正數x，y，滿足+=1，則+的最小值是_______.

解析：從題設上看所給定值表達式由整式多項式變成分式多項式，但本質上仍然為兩個整體之和為定值，因此需要做的處理是將待求表達式中的分母變成關于和的式子.

將多項式分子除到分母上，則+=+，易知分母和：1-+1-=1；所以原式=

反思：無論定值表達式是整式之和還是分式之和，解決這類問題的關鍵在于能夠在待求表達式的分母中再現定值表達式中的元素，以便能夠做1的代換并調整系數.

2. 變式二：“定值”表達式為不等式

例3 （蘇錫常鎮宿五市調研一）已知實數x，y，且x+y≤2，則+的最小值是_______.

解析：通常情況下，基本不等式給出的定值表達式是等式，思維的定式，會讓學生在遇到給出“定值”表達式為不等式時，有些不知所措，但問題中1的代換的本質并未改變，所不同的僅僅是將原來的等量關系變成不等關系而已.

待求表達式中分母之和為x+3y+x-y=2（x+y），因為x+y≤2，則2（x+y）≤4；

在構造積為定值時，需要調整系數，即+≥

反思：當定值表達式為不等式時，在問題的本質上并未改變，問題在于學生能否轉變思維的定式，從定值為等式的思維走出.

回顧整個解題心得，我們可以從理論與實踐兩個角度來再度認識這類問題. 從理論的角度來審視這一類構造基本不等式的問題，其實質乃1的代換的變形，它比最簡單的1的代換要靈活，因為這類問題在構造1的過程中需要調整表達式的系數；從實際的問題來審視這類問題，有一個通性：待求多項式的每一項的分母都含有題設所給定值表達中的元素. 因此在處理這類問題時應當把握兩個突破口：其一，對待求表達式的變形與處理的方向應當是：使表達式的每一項的分母中帶有定值表達式中的元素；其二，正如文章第二部分數學模型總結的那樣，在進行1的代換操作步驟時應當注意系數的調整，保證表達式與原表達式是等價的.