局部激光輻照下薄板結構的屈曲承載力分析*

李欣濤，龍連春

(北京工業大學機械工程與應用電子技術學院，北京 100124)

1 引 言

板殼結構在面內壓力作用下的屈曲破壞是常見的破壞形式。實際結構有時會出現整體或局部溫度升高的情況。由于熱膨脹產生熱應力，使材料的力學性能發生變化，因此溫度的變化會影響結構的屈曲承載能力。在實驗中，強激光因具有方向性好、能量密度高等特點，常作為熱源用于材料的局部快速加熱，因而在數值模擬中研究者們常采用激光作為熱源。

針對具有局部缺陷的薄壁結構的屈曲問題，Raju等人[1]采用有限元方法研究了局部對稱損傷圓板的熱屈曲，用材料力學性能的局部下降程度描述其影響，得到簡支和固支條件下圓板的屈曲溫度。Jin等人[2]運用數字圖像相關方法測試了圓形鋁板在熱載荷作用下的屈曲，實驗測得的屈曲溫度與理論結果接近。Shaterzadeh等人[3]針對含有圓形開孔的對稱與非對稱復合材料層合板，總結了開孔尺寸、邊界條件、鋪層方向等對熱屈曲的影響。Yaghoobi等人[4]對功能梯度材料薄板在恒定、線性以及非線性溫度載荷作用下的屈曲進行了分析，得到了其在6種不同邊界條件下的屈曲溫度。尹益輝等人[5-6]利用Berger和Galerkin的近似法，導出了固支圓薄板在連續激光與橫向力聯合作用下的軸對稱大撓度的表達式，討論了溫度場與橫向力的聯合作用對圓板大撓度的作用機制。鄧可順等人[7-9]分析了結構熱屈曲問題的非線性性質，提出了考慮材料性質參數隨溫度變化的熱屈曲試探解法，實現了在力載荷和溫度載荷的共同作用下結構的熱屈曲有限元分析。Morimoto等人[10]通過解析和數值模擬方法研究了功能梯度材料板在局部受熱作用下的熱屈曲，得到了材料的不均勻性、長寬比以及熱載區域大小對臨界屈曲溫度的影響。Hilburger等人[11]采用數值模擬與實驗測試相結合的方法，分析了初始缺陷對光滑薄壁圓柱殼屈曲和后屈曲響應的影響。Guan等人[12]采用熱彈塑性有限元模型，分析了金屬板在激光輻照和預加載荷作用下發生彎曲時的力學特性和變形過程，認為熱應力和預加應力集中是導致金屬板產生變形的主要原因。

局部激光輻照下薄板的穩定性受邊界條件、薄板尺寸、激光功率密度、激光輻照時間等因素的影響。迄今為止，對激光輻照下薄板屈曲問題的研究多集中于理想線彈性屈曲分析，計算得到的當結構發生屈曲時的臨界載荷與實驗結果相差較大，而采用考慮結構的初始缺陷、材料非線性和變形非線性等因素的屈曲分析方法時，所得結果更接近實際情況。

非線性有限元計算可以采用多種方法，如牛頓-拉普森法、修正牛頓-拉普森法和準牛頓-拉普森法，但是對于非穩定結構，如屈曲問題、接觸問題等，就必須采用弧長法。這是由于在結構非線性有限元分析的求解過程中，當出現結構失穩或材料軟化時，傳統的牛頓-拉普森法無法通過極值點，而改進的弧長法能夠解決此類問題。本研究采用弧長法對面內受單向均勻壓縮的薄板進行非線性屈曲分析，綜合考慮結構初始缺陷、幾何非線性、材料非線性和溫度變化對材料參數的影響，分析激光輻照時間、激光光斑半徑和薄板厚度對薄板結構屈曲承載力的影響。

2 數值計算模型

模型采用尺寸為200 mm×200 mm×2 mm的正方形薄板，激光輻照區域位于薄板中心，圓形光斑。薄板頂邊和底邊采用固支約束，左、右兩邊不約束任何自由度。薄板材料為鋁合金，材料參數隨溫度的變化如表1[13]所示，材料的塑性特性如表2所示，其中ρ為密度，μ為泊松比，T為溫度，E為彈性模量，α為熱膨脹系數，cp為定壓比熱容，λ為熱導率。數值計算中，對于表1和表2未列出的其他溫度點下的材料參數，采用線性插值方法獲取。

表1 材料參數Table 1 Material parameters

表2 塑性參數Table 2 Plastic parameters

3 局部激光輻照下薄板的熱屈曲分析

連續激光輻照金屬表面時，金屬表層吸收部分激光能量并轉化為熱，通過熱傳導在物體內擴散，使局部溫度上升；局部溫度升高會使材料的性能發生變化，同時結構內的任意微元因溫度變化而引起的熱膨脹會受到周圍相鄰微元的限制，產生熱應力，當熱應力達到一定值后，繼續輻照會導致薄壁結構發生屈曲。本研究采用溫度-位移耦合求解方法，分析激光功率密度(F)、光斑半徑(R)和薄板厚度(h)對薄板結構熱屈曲時間的影響，計算中考慮了結構的幾何非線性和材料非線性。

3.1 激光功率密度對結構熱屈曲的影響

以薄板厚度2 mm、激光功率密度30 W/cm2、光斑半徑20 mm為例，假設激光被全部吸收，通過有限元分析，得到薄板中心的溫度和應力隨時間變化的規律，如圖1、圖2所示。可見，中心點溫度隨輻照時間的增加近似呈線性升高；中心點應力隨輻照時間的增加先增大后減小，輻照約3.7 s時中心點應力達到最大。通過提取底邊的支反力，繪制出支反力-輻照時間曲線，如圖3所示。從圖3中可以看出：當激光功率密度為20 W/cm2時，輻照6 s左右，支反力開始下降，結構發生屈曲；當激光功率密度為30 W/cm2時，激光輻照3.7 s左右，結構發生屈曲；當激光功率密度達到60 W/cm2時，輻照2 s左右，結構即已發生屈曲。圖4為發生熱屈曲的時間(tB)隨激光功率密度(F)變化的關系，可見，隨著激光功率密度的增加，薄板發生熱屈曲的時間變短。

圖1 中心點溫度變化曲線Fig.1 Temperature-irradiation time curve at the central point

圖2 中心點應力變化曲線Fig.2 Stress-irradiation time curve at the central point

圖3 不同功率密度的激光輻照下支反力與輻照時間的關系Fig.3 Support reaction force vs.irradiation time for different laser power densities

圖4 發生熱屈曲時的輻照時間與激光功率密度的關系Fig.4 Laser power density vs.irradiation time of thermal buckling

3.2 激光光斑半徑對結構熱屈曲的影響

保持激光功率密度30 W/cm2不變，改變輻照光斑半徑R，分析2 mm厚薄板的熱屈曲行為。圖5給出了R分別為15、20、25、30和35 mm時支反力隨輻照時間變化的曲線，熱屈曲時間(tB)與輻照光斑半徑(R)的關系如圖6所示。當R=15 mm時，薄板在8 s左右發生屈曲；當R增大到35 mm時，輻照2 s時薄板便發生熱屈曲；薄板發生熱屈曲的時間(tB)隨輻照光斑半徑(R)的增大而縮短。

圖5 不同光斑半徑條件下支反力與輻照時間的關系Fig.5 Support reaction force vs.irradiation time for different spot radii

圖6 發生熱屈曲時的輻照時間與光斑半徑的關系Fig.6 Spot radius vs.irradiation time of thermal buckling

3.3 薄板厚度對結構熱屈曲的影響

將激光功率密度30 W/cm2和光斑半徑20 mm保持不變，改變薄板厚度，分析薄板厚度對結構熱屈曲的影響。對于厚度(h)分別為0.5、1.0、1.5、2.0和2.5 mm的薄板，其支反力隨輻照時間的變化曲線如圖7所示。可以看出， 0.5 mm厚的薄板輻照0.3 s左右便發生熱屈曲，而2.5 mm厚的薄板輻照8 s左右才發生熱屈曲。發生熱屈曲時的輻照時間(tB)與薄板厚度(h)的關系如圖8所示。

圖7 不同厚度薄板的支反力與輻照時間的關系Fig.7 Support reaction force vs.irradiation time for plates with different thicknesses

圖8 發生熱屈曲時的輻照時間與薄板厚度的關系Fig.8 Plate thickness vs.irradiation time before thermal buckling

4 局部激光輻照下薄板的屈曲承載力分析

采用第2節中的計算模型，將邊界條件和加載情況變為：薄板底邊采用固支約束，頂邊施加垂直于頂邊并指向薄板中心的初始載荷，約束其他5個方向的自由度。

分析局部激光輻照下薄板的屈曲承載力時，需要綜合考慮薄板的整體溫度分布、材料性能參數變化、局部熱應力等問題，本研究將此過程分為3步：(1) 采用溫度-位移耦合法分析局部激光輻照下薄板的溫度場和應力場；(2) 線性屈曲分析；(3) 將第1步所得的不同輻照時間下薄板溫度場和應力場的分析結果作為初始狀態，將第1步中的一階變形作為初始缺陷，采用弧長法分析薄板的屈曲承載力。

4.1 激光輻照時間對結構屈曲承載力的影響

首先進行線性屈曲分析和溫度-位移耦合求解分析。舉例說明：當激光功率密度為30 W/cm2、光斑半徑為20 mm、薄板厚度為2 mm時，線性屈曲分析的一階模態云圖如圖9所示，激光輻照5 s時整個薄板的溫度分布如圖10所示，其中U為相對位移。

圖9 線性屈曲的一階模態Fig.9 First-order modal of the linear buckling

圖10 激光輻照5 s時薄板的溫度云圖Fig.10 Temperature nephogram of plate after laser irradiation of 5 s

采用弧長法分析局部激光輻照下薄板的屈曲承載力。提取底邊支反力和頂邊上所有節點的位移之和繪制曲線，圖11為激光輻照0、1、2、3、4和5 s時薄板底邊支反力-位移曲線。激光未輻照時，結構的最大屈曲承載力約為9.30 kN；當輻照時間(t)增加到5 s時，最大屈曲承載力約為8.70 kN。從圖12所示的屈曲承載力-激光輻照時間曲線可以看出，結構整體屈曲承載力隨著激光輻照時間的增加而減小。

圖11 不同輻照時間下支反力與位移的關系Fig.11 Support reaction force vs.displacement after different irradiation times

圖12 屈曲承載力與激光輻照時間的關系Fig.12 Buckling bearing capacity vs. irradiation time

4.2 激光光斑半徑對結構屈曲承載力的影響

當激光功率密度為30 W/cm2，激光輻照光斑半徑(R)分別為15、35、55、75和95 mm，輻照2 s時，2 mm厚薄板的結構屈曲承載力如圖13所示，屈曲承載力與輻照光斑半徑的關系如圖14所示。當輻照光斑半徑為15 mm時，屈曲承載力約為9.25 kN；當光斑半徑增大到95 mm時，屈曲承載力下降至7.90 kN左右。從圖14中可以看出，結構整體屈曲承載力隨輻照光斑半徑的增大而降低。

4.3 薄板厚度對結構屈曲承載力的影響

當激光輻照功率為30 W/cm2、光斑半徑為20 mm、輻照時間為2 s時，厚度(h)分別為0.5、1.0、1.5、2.0和2.5 mm的薄板的支反力-位移曲線如圖15所示。0.5 mm厚薄板的屈曲承載力在0.50 kN左右，而2.5 mm厚薄板的屈曲承載力則達到18.00 kN，結構整體屈曲承載力隨薄板厚度的增加而增大，如圖16所示。

圖13 不同光斑半徑的激光輻照2 s后支反力與位移的關系Fig.13 Support reaction force vs.displacement after laser irradiation of 2 s with different spot radii

圖14 激光輻照2 s后屈曲承載力與光斑半徑的關系Fig.14 Buckling bearing capacity vs.spot radius after laser irradiation of 2 s

圖15 激光輻照2 s后不同厚度薄板的支反力與位移的關系Fig.15 Support reaction force vs.displacement for plates with different thicknesses after laser irradiation of 2 s

圖16 激光輻照2 s后屈曲承載力與薄板厚度的關系Fig.16 Buckling bearing capacity vs.plate thickness after laser irradiation of 2 s

5 結 論

(1) 隨著激光輻照時間的增加，薄板中心點的溫度逐漸升高，中心點應力先升高后下降。

(2) 隨著激光功率密度的增加，薄板發生熱屈曲的時間呈線性下降；當激光輻照光斑半徑增加時，薄板發生熱屈曲的時間呈二次函數關系下降；增加薄板厚度可以大幅度延長薄板發生熱屈曲的時間。

(3) 增加激光輻照時間和輻照光斑半徑都會降低整個薄板的屈曲承載力，且均近似呈線性關系；薄板厚度對結構整體屈曲承載力的影響更為顯著，隨著薄板厚度的增加，屈曲承載力近似呈指數增大。因此，增加薄板厚度或采用加筋方法對提高薄壁結構抗熱屈曲能力具有顯著的效果。

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