一首高正確率問題的課堂探究

?

一首高正確率問題的課堂探究

◇云南鄧成美

數學學科是邏輯思維嚴謹的學科,對有果,錯有因．數學教學探究的過程就是弄清因果的過程．有時我們看到的只是問題的表面現象,如客觀選擇或填空題,只要求給出正確答案即可,正確答案的得出有時只是偶然,因此需要進一步的追問探究,才能發現隱藏在假象背后的本質，進而才能切實提高學生分析問題、解決問題的能力．本文以一道期末試題的課堂探究為例,以期拋磚引玉．

題目設P、Q為一個正方體表面上的2點,已知此正方體繞著直線PQ旋轉θ(0<θ<2π)角后能與自身重合,那么符合條件的直線PQ有______條.

本題是筆者所在學校一道高三期末考試試題,筆者所教授的2個班近80人,正確率超過70%．在試卷講評時本打算一帶而過．但不經意的一問引起了課堂探究．

1不經意的一問,暴露了真相

師:生1請說一下這13條直線都是哪些直線?

圖1　　　　　　圖2　　　　　　圖3

生1:第1類如圖1,過對面中心的直線,有3條;第2類如圖2過對角棱中點的直線,有6條;第3類如圖3,與體對角線重合的直線,有4條．共13條．

師:完全正確．

此時正想進入下一題目的講評,突發奇想,又補充了1問．

師:這3種情況各自旋轉了多少度后與原圖像重合?

生1:第1類旋轉π/2;第2類旋轉π;第3類旋轉π．

師:(略顯詫異)大家同意生1的解答嗎?

生眾:(幾乎異口同聲)同意．

2問題初探,揭露錯誤本質

師:我們以第3種情況為例,如圖4,在四邊形AA1C1C中,點A1旋轉π后與哪點重合?

圖4

圖5

生2:與點C重合．

師:四邊形AA1C1C是什么圖形?

生眾:矩形．

師:如圖5,一個矩形繞對角線旋轉π后,是否與原圖重合?

生眾:沉默……

師:那么繞正方體對角線應該旋轉多少度,能與原圖重合?

此題雖然結果正確,但學生并沒有真正認識到問題的本質,如果將題目改為:

變式設P、Q為一個正方體表面上的2點,已知此正方體繞著直線PQ旋轉θ(0<θ<2π)角后能與自身重合,若以正方的對角線為旋轉軸,則至少要旋轉的角度為________.

答題結果可想而知．

3深入探究，得出解題通法

師:空間問題平面化是處理立體幾何問題的有效途徑,我們可以從最簡單的情況入手．如第1類情況,圖1的俯視圖(如圖6)，根據正方形的屬性易知旋轉π/2后與原圖形重合．

運用此法請同學們分析一下另外2種情況．

圖6　　　　　圖7　　　　　圖8

生3:第2類情況,可令旋轉軸垂直于水平面,則其俯視圖如圖7所示,易知旋轉π后與原圖形重合．

生4:第3類情況,令旋轉軸垂直于水平面,則其俯視圖如圖8所示,易知旋轉2π/3后與原圖形重合．

師:如果沒有強調最小的旋轉角度呢?

生5:第1類情況可以旋轉π/2,π,3π/2．第3類情況可以旋轉2π/3,4π/3．

至此問題得到完美解決．

在平時的解題訓練中我們不應滿足于答案的得出,應對問題的本質進行深入探究以及對題目進行變式拓展,進而鍛煉我們分析問題、解決問題的能力,以不變應萬變．

(作者單位：云南省昆明市嵩明縣第四中學)

答案： 13條.