中心型圓錐曲線內接三角形外心的一個性質研究

宋汶釗　王海峰

摘 要：本文修正了中心型圓錐曲線內接三角形外心的一個性質，提出并解決了三個問題。首先分析了以往錯誤推理的原因，接著修正了中心型圓錐曲線三角形外心的一個性質，在此基礎上，探索了具有上述性質的中心型圓錐曲線內接三角形面積最值的存在性。本文的研究對于中心型圓錐曲線的教學有較好的借鑒和指導作用。

關鍵詞：中心型圓錐曲線；橢圓；雙曲線；內接三角形

一、提出問題

筆者首先就張敬坤在《數學通訊》期刊中的“圓錐曲線內接三角形外心的一組性質”（以下簡稱“例文”）進行了研究。例文研究了三種圓錐曲線內接三角形外心的一個性質，并且基于反證法得到了圓錐曲線內接三角形外心的一組結論：

結論1：橢圓內接三角形外心不會與其中心重合。

結論2：雙曲線內接三角形外心不會與其中心重合。

結論3：拋物線內接三角形外心不會與其焦點重合。

事實上，經由圖形直觀地分析以及嚴格數學論證，我們發現例文給出的結論1和結論2是錯誤的，僅有結論3是正確的。

本文試圖探討有中心的圓錐曲線，如橢圓和雙曲線（以下稱中心型圓錐曲線）的內接三角形外心的性質。

我們首先以橢圓為例，通過圖形直觀分析橢圓內接三角形外心的特征。

設橢圓O：（a>b>O），以橢圓中心O為圓心，以半徑a>r>b作圓，則圓O與橢圓必有四個交點A，B，C，D，則上述任意三個點組成的橢圓內接三角形的外心就是橢圓的中心O，如圖1所示。易知，△ABC為直角三角形，其外心與橢圓的中心重合。

根據以上事實，本文提出并探討以下問題：

Q1：對于中心型圓錐曲線，例文看似嚴密論證的不足之處在哪里？

Q2：中心型圓錐曲線的內接三角形外心與其中心是否能夠重合？

Q3：中心型圓錐曲線的內接三角形外心與其中心重合時（下面簡稱滿足（Q2）），內接三角形面積的最大（小）值是否存在？

二、分析問題

1.探究例文的問題所在

我們仔細分析例文后，發現其問題所在：例文在推理中用到△ABC的外心O在△ABC各邊的中垂線上，在沒有仔細論證的情況下，想當然認為是圖2中的情形，認為OD斜率與BC斜率的乘積為-1。事實上，由于O點與D點重合，OD的斜率是不存在的。而例文的證明以OD⊥BC為前提條件，這對于圖1情形來說，顯然是不妥當的。由此，我們得到問題Q1的結論。

結論1：例文的論證不足之處在于，使用可能不存在的圖形來論證，所以得出了錯誤的結論。

由結論1可得，在探索一個問題時，僅靠直觀分析是不夠的，還應以嚴格的推理為基礎。

2.探索中心型圓錐曲線的內接三角形外心的性質

實際上，上述四組解剛好對應著圖1中的A，B，C，D四個點。任意取3點可以構成一個三角形，記為△ABC，則此△ABC為直角三角形。根據直角三角形的性質有：斜邊AC的中點就是△ABC的外心，即O（0，0）。

由上面的分析可知，對于任意一個橢圓來說，一定存在內接三角形，使得該三角形外心與橢圓的中心重合，且該三角形為直角三角形。

需要注意的是，由于b

對于雙曲線O：（圖3），我們同理可得類似的結論：

對于任意一個雙曲線來說，一定存在內接三角形，使得該三角形外心與雙曲線的中心重合，且該三角形為直角三角形。類似可知，該直角三角形的頂點不能落在雙曲線的頂點上。

綜上，我們得到中心型圓錐曲線內接三角形外心的性質特征：

結論2：對于任意一個中心型圓錐曲線來說，一定存在內接三角形，使得該三角形外心與這個圓錐曲線橢圓的中心重合，且該三角形為直角三角形。

3.探究滿足（Q2）的中心型圓錐曲線內接三角形面積最大（小）值是否存在

因此，當θ=，時有S→∞，故不存在最大值；當θ→∞，π，2π時，S→0，故不存在最小值。綜上所述，我們得到下面的結論：

結論3：滿足條件（Q2）的中心型圓錐曲線內接三角形中，橢圓內接三角形面積存在最大值ab，不存在最小值（可以無限趨于0）；雙曲線內接三角形面積不存在最大值（可以趨于無窮大），也不存在最小值（可以無限趨于0）。

三、結論

本文分析中心型圓錐曲線內接三角形外心的性質，提出并解決了三個問題（Q1，Q2和Q3）。

首先指出例文的錯誤在于根據一個不存在的圖形進行推理（解決了Q1）；其次，我們證明了對于任意一個中心型圓錐曲線，一定存在內接三角形，使得該三角形外心與這個圓錐曲線橢圓的中心重合，且該三角形為直角三角形（解決了Q2）；最后，我們證明了滿足條件（Q2）的中心型圓錐曲線內接三角形中，橢圓內接三角形面積存在最大值ab，不存在最小值（可以無限趨于0）；雙曲線內接三角形面積不存在最大值（可以趨于無窮大），也不存在最小值（可以無限趨于0）（解決了Q3）。

本文的研究對于中心型圓錐曲線的教與學都具有較好的指導與借鑒意義。

參考文獻：

張敬坤.圓錐曲線內接三角形外心的一組性質[J].數學通訊，2009（20）：30-31.