借助導函數與原函數圖象的關系巧解題

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借助導函數與原函數圖象的關系巧解題

◇遼寧范琦亮

導數是求解函數問題的有力工具,利用導函數的正、負,可簡潔判斷原函數的增減,進而求函數的極值、最值等．其中判斷導函數的正、負是問題求解的關系步驟,具體應用時可借助導函數與原函數的關系．下面舉例說明．

1根據導數的幾何意義分析原函數的圖象

圖1

當x∈(-1,0)時,f′(x)單調遞增,則f(x)圖象的增長趨勢由緩到快.當x∈(0,1)時f′(x)單調遞減,則f(x)的圖象增長趨勢由快到緩,故選B.

2根據函數的圖象特征求解析式

圖2

A y=1125x3-35x; B y=2125x3-45x;

3根據函數與其導函數的圖象關系巧解題

4由導函數圖象分析原函數拐點和極值點

圖3

Af(b)>f(c)>f(d);

Bf(b)>f(a)>f(e);

Cf(c)>f(b)>f(a);

Df(c)>f(e)>f(d)

又af(b)>f(a),選C.

5借助圖象 簡潔求原函數最值

(1) 求f(x)在點(0,f(0))處的切線方程.

(2) 求證:當x∈(0, 1)時,f(x)>2(x+x3/3).

(3) 設實數k使得f(x)>k(x+x3/3)對x∈(0, 1)恒成立,求k的最大值.

當k∈[0,2]時,F′(x)≥0,函數在(0,1)內為增函數,F(x)>F(0)=0,符合題意,此時k的最大值為2.

x(0,x0)x0(x0,1)F'(x)-0+F(x)↘極小值↗

所以在區間(0,1)內Fmin(x)=F(x0)．

解題至此,部分同學欲求F(x0),陷入誤區．此時可借助圖象,轉換方向去求F(0),而F(0)=0,故F(x0)<0,所以F(x)>0不成立．

綜上所述,可知k的最大值為2.

綜上,求解導函數與原函數圖象的交會問題,其關鍵在于熟練掌握導數這一有力工具,以“數形結合法”的方式去分析、解決問題.

(作者單位：遼寧省普蘭店市大連海灣高級中學)