車輛荷載作用下雙曲拱橋的動力響應實測與分析

2016-04-28 03:32:14劉建軍

四川建筑 2016年1期

劉建軍

(1. 現代投資股份有限公司, 湖南長沙 410000; 2. 湖南大學土木工程學院, 湖南長沙 410000)

劉建軍1, 2

(1. 現代投資股份有限公司, 湖南長沙 410000; 2. 湖南大學土木工程學院, 湖南長沙 410000)

【摘要】文章首先介紹車橋動力相互作用的相關理論,具體內容包括：橋梁固有振動理論、靜力分析理論、阻尼理論、車橋動力相互作用理論等。然后運用大型橋梁分析軟件MADIS對工程實例進行了動力分析，并將計算結果與實驗結果進行對比，以驗證應用MADIS建模及進行車橋動力相互作用分析的可行性。所得結果對橋梁抗震設計有一定的參考作用。

【關鍵詞】雙曲拱橋；車輛荷載；自振頻率；動力響應

現今有關雙曲拱橋在汽車荷載下的動力反應研究的較少。我國現行橋梁設計規范將汽車荷載作用的沖擊系數定義為橋梁基頻的函數，比原規范有了很大的改進，然而對整個橋梁應用單一的沖擊系數不盡合理，橋梁不同位置的動力反應是不同的，應規定不同的沖擊系數；而且作為沖擊系數效應值的評價尺度是著眼于彎矩還是撓度也是研究的課題。此外，規范亦沒有考慮阻尼、車輛模型、車輛運行速度等對橋梁沖擊系數的影響。

由于影響車橋振動的因素很多，通過橋梁的汽車荷載的流量大小、車輛間距、軸重、行駛速度、車輛的行駛位置、車輛的動力持性等均有明顯的隨機性，是無法預知的。同時，路橋連接縫的結構狀態、橋頭引道及橋面的平整狀態也具有明顯的隨機性，這給車輛對橋梁結構動力作用的理論分析帶來了很大困難。因此，在車橋耦合振動分析中，一般多通過橋梁結構的動荷載試驗來測定上述因素的綜合作用結果，同時采取必要的理論分析加以驗證。如何從理論上確定車輛荷載下公路橋梁的動力響應，一直為工程界所關注。

1車輛橋梁相互作用的分析方法

1.1車輛橋梁相互作用的研究任務

車振、地震及風振是橋梁結構動力學的三個主要問題。橋梁結構在行車作用下，由于汽車與橋梁結構的相互作用引起車輛橋梁整體系統的振動，屬于典型的快速時變結構力學范疇。汽車橋梁系統的振動，使得橋梁結構的內力和變形大于靜力車輛荷載作用下的結構內力和變形。為了確保橋梁在車輛運行時的結構安全，在橋梁設計中必須考慮車輛荷載動力效應的影響。在目前世界各國橋梁設計規范中，一般用動力放大系數亦稱沖擊系數來考慮車輛荷載對橋梁結構產生的動力效應。車輛與橋梁相互作用領域研究的主要任務就是研究車輛橋梁整體系統的動力行為。對于車輛橋梁系統的振動問題，由于汽車及橋梁結構兩者都是具有剛度、質量和阻尼的振動系統，并且在車輛運行時，作用在橋梁上的汽車車輪位置隨時間發生變化，從而使得汽車橋梁系統的振動問題相當復雜。影響汽車橋梁系統動力行為的主要因素包括以下幾個主要方面：

(1)橋梁結構的自振頻率特征由橋梁結構的剛度和質量確定；

(2)汽車車輛的自振頻率特征由汽車車輛的剛度和質量確定；

(3)橋梁結構及車輛系統的阻尼；

(4)汽車在橋上運行的速度；

(5)橋面的不平順；

(6)汽車上橋時的初始運動狀態。

車輛橋梁系統的動力行為是空間問題，包括垂直方向的振動和水平方向的振動；在激勵方式上，除汽車正常的運行外，還有汽車的起動與剎車等；在研究方法上可分為確定性振動分析和隨機振動分析兩大類。

在確定性振動分析方面，最基本的是單自由度振動微分方程，根據牛頓第二定律及達朗貝爾原理建立如下：

(1)

式中:v(t)為質量m在時間t的位移；m、c、k分別為系統的集中質量、阻尼系數及彈簧剛度;F(t)為隨時間變化的外荷載。

隨機振動分析采用概率統計方法確定系統動力反應的統計特征。

1.2車橋動力相互作用相關理論

1.2.1固有振動理論

固有振動反映振動系統的固有特性，是研究一切振動問題的基礎。所謂固有振動是指彈性系統在沒有外部動力的作用下形成的振動。求解固有振動的頻率從數學上說屬于求特征值的問題。

有限元法是現今比較常用的方法。利用有限元，結構的固有振動可歸結為下列廣義特征值問題:

(2)

式(2)中剛度矩陣[K]和質量矩陣[M]都是對稱矩陣，[K]通常是正定的。[M]是滿陣，如果只有節點集中質量，那么[M]是對角陣。如果[K]及[M]有n階，則可求得n個頻率ω及n組振型{x}。把式(2)兩邊都左乘以[K]-1，并乘λ=1/ω2，得：

(3)

將[K]-1[M]用[A]表示，于是得：

(4)

這是一個“標準特征值問題”，式中[A]在通常情況下是對稱矩陣。但在某些情況下，[K]-1[M]不是對稱矩陣，此時為了便于計算，常常把它轉化成標準特征值問題。

接下來對[K]進行三角化分解，使

(5)

式 (5)中[L]是上三角矩陣，于是

(6)

代入式(3)得:

(7)

兩邊左乘[L]，得:

(8)

令Z=[L]{x}，代入上式得:

(9)

式子中[A]=[L]-1[M][L]

[A]是對稱矩陣，上式就是一個標準特征值問題。求得特征向量{Z}后，容易利用{Z}=P[L]{x}還原成方程式(2)的特征向量{x}，即:

(10)

標準特征值問題的解法有很多種，常用的有雅可比法、子空間迭代法、乘冪法及反乘冪法、G—H法、Ritz向量法、Lanczos法。本文采用子空間迭代法，用大型橋梁分析軟件MADIS加以實現。

1.2.2靜力分析理論

結構的靜力平衡方程組為:

(11)

即以節點位移為基本未知量的系統節點平衡方程組。式中[K]、{x}、{P}分別表示結構剛度矩陣、節點位移向量、節點荷載向量。可以用直接解法求解此類方程組。直接解法以高斯消去法為基礎，求解效率高。在方程組的階數不是特別高時(例如不超過10 000階)，通常采用直接解法。常用方法有等帶寬高斯消去法、三角分解法以及以上述兩法為基礎，適用于更大型方程組求解的分塊解法和波前法。波前法求解的特點是：剛度矩陣[K]和荷載列陣{P}不按自然編號進入內存而按計算時參加運算的順序排列，在內存中只保留盡可能少的一部分[K]和{P}中的元素。在波前法中,方程被處理的次序由單元編號來確定，而不是由節點編號來確定。要消去的第1個方程只是與單元1相關的那些方程。接著，相鄰單元2的剛度矩陣的貢獻加到方程組中，假使僅是單元1和單元2對附加的自由度有貢獻，即沒有其他單元對這些自由度的剛度矩陣有貢獻，那么這些方程從方程組中被消去。當一個或更多單元對方程組有貢獻時，只是由這些單元貢獻的附加自由度將從解中被消去。在組合和解之間的這種反復交替最初被看作波前，這個波在結構上以單元編號的樣式掃蕩。由于這種方法的較大有效性，在結構上將以跨越最少節點號的方向進行連續的單元編號。本文在靜力分析中還考慮了橋梁結構的幾何非線性。引起結構非線性的原因很多，它可以被分為三種主要類型：

(1)狀態變化。許多普通結構表現出一種與狀態相關的非線性，例如，一根只能拉伸的電纜可能是松散的，也可能是繃緊的。這些系統的剛度由于系統狀態的改變在不同的值之間突然變化。

(2)幾何非線性。如果結構經受大變形，它變化的幾何形狀可能會引起結構的非線性響應。

(3)材料非線性。非線性的應力-應變關系是結構材料非線性的常見原因。許多因素可以影響材料的應力-應變性質，包括加載歷史、環境狀況、加載的時間總量等。

1.2.3阻尼理論

橋梁結構的阻尼是確定橋梁振動的重要動力參數之一。阻尼消耗能量，使振動衰減，對橋梁的安全是有利的。阻尼的大小直接關系到橋梁在動荷載作用下振動的強弱，因此研究橋梁的阻尼規律是提高橋梁動力計算精確度的關鍵之一。

形成橋梁結構阻尼的因素十分復雜，大致可以分為下列三類：

(1)材料的內阻尼。由振動時材料分子間的內摩擦力所形成。

(2)摩擦阻尼。由結構物支承及連接處的摩擦力等所形成，又稱干摩擦阻尼或庫倫阻尼。

(3)空氣介質阻尼。由周圍空氣介質對結構物運動的阻力所形成。

材料內阻尼使振動按指數隨時間衰減，而橋梁結構的摩擦阻尼則使振幅按直線隨時間衰減，二者作用的性質不同。至于空氣介質阻尼作用的性質則大致與材料內阻尼相似。橋梁結構的振動阻尼還不能像固有頻率那樣準確計算出來，在振動分析中常參考一些橋上實測資料來近似取值。考慮到實際情況和計算上的方便，在橋梁振動計算中通常采用Rayleigh阻尼，又稱為比例阻尼，是最常用也是比較簡單的阻尼，它是多數實用動力分析的首選，對許多實際工程應用也是足夠的。Rayleigh假定阻尼矩陣[C]為質量矩陣[M]和剛度矩陣[K]的線性組合，即[C]=α[C]+β[K], 是α阻尼和β阻尼之和。已知結構總阻尼比是ξ，則用兩個頻率點上α阻尼與β阻尼產生的等效阻尼比之和與其相等，即

(12)

這樣就可以求出近似的α阻尼與β阻尼系數。

1.2.4車橋動力相互作用理論

當汽車以一定的運行速度通過橋梁時，車輛位置隨著時間變化，并且汽車車輛和橋梁結構都是具有剛度、質量及阻尼的振動系統，因而汽車與橋梁相互作用問題非常復雜。一般來說，首先分別建立汽車和橋梁的振動方程，然后考慮車輪與橋梁的位移協調條件，建立汽車與橋梁相互作用的整體系統方程，采用數值方法求解整體系統方程。

車輛單元的運動方程為：

(13)

式中：mt、ct、kt、ft分別為車輛單元的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、荷載向量。

(14)

車輛與橋梁相互作用的車橋耦合單元運動方程為:

(15)

式中各矩陣和向量的詳細表達式為:

(16)

式中各矩陣的含義如下：

mbb為車橋耦合單元的質量矩陣；

δb為車橋耦合單元的位移向量；

Nb為橋梁單元的形函數；

r為橋面的不平順函數；

v為車輛的水平運動速度；

a為車輛的水平運動加速度；

根據建立的車橋耦合單元，可以采用有限元方法形成汽車橋梁整體系統的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和荷載向量。由于汽車運行通過橋梁時，作用在橋梁上的車輪位置隨著時間而變化，因此汽車橋梁整體系統的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣及位移向量、速度向量、加速度向量和荷載向量均隨時間而變化，也就時說，對于每一個時間增量，汽車橋梁整體系統的運動方程必須重新更改。按照有限元方法形成汽車橋梁整體系統方程如下：

(17)

車橋動力相互作用計算方法有分組迭代法和整體求解法兩種。分組迭代法就是將汽車橋梁系統方程分為車輛方程和橋梁方程兩組分別進行迭代，然后再考慮車輪橋梁位移協調條件，進行反復迭代，最終求解汽車橋梁系統方程的結果;整體求解法就是直接形成汽車與橋梁整體系統的方程，采用數值方法如Wilson-θ法和Newmark法等求解。整體求解法比分組迭代法運算速度快，但要求的計算機內存更大一些。車輪與橋梁接觸條件主要考慮兩個因素，即橋面不平和車輪與橋梁位移協調條件。橋面不平是車輛與橋梁相互作用問題的主要激勵因素;車輛與橋梁位移協調條件就是假定汽車運行通過橋梁時，車輪與橋梁始終保持接觸。

2工程實例分析

2.1工程概況

某大橋建成于1978年，所在路線依1972年頒發的《公路工程技術標準》(估計為四級公路，相應設計荷載為汽車-10級，履帶-50。橋位樁號為K5+100，橋長178.8 m，總橋寬7 m，2車道。上部結構形式為25 m(板拱)+3×40 m(雙曲拱)，漿砌片石；下部結構形式為U型橋臺、重力式橋墩、擴大基礎。該橋設計圖紙及施工資料暫未找到(圖1)。

圖1　橋立面圖

2.2動載試驗方案

(1)在夜間(晚上12：00～早晨4：00)進行地脈動實驗，測試橋梁的豎向自振特性；

(2)跑車實驗：一輛重車(15 t)分別以30 km/h、40 km/h的速度駛過主橋，測試橋梁的豎向強迫振動特性；

(3)儀器采用由拾振器(位移、速度與加速度傳感器)、數據采集儀、電荷放大器及動力分析儀組成的動力測試系統。

全部數據采集與分析采用德國生產的國際公認的HBM動力測試與分析系統完成。

2.3試驗結果與分析

2.3.1理論分析

通過橋梁分析軟件MIDSA對該橋進行計算，前10階振型見圖2～圖11,各跨的前10階理論自振頻率見表1。

圖2　第1階振型

圖3　第2階振型

圖4　第3階振型

圖5　第4階振型

圖6　第5階振型

圖7　第6階振型

圖8　第7階振型

圖9　第8階振型

圖10　第9階振型

圖11　第10階振型

綜合跑車及環境隨機振動的測試數據，可得到精確而真實的橋跨結果自振特性數據。

2.3.2動載試驗分析結果與評定

(1) 橋梁自振頻率測試結果與分析見表2、圖12。

由以上可知各階自振頻率的實測值與理論值基本一致，但理論頻率小于實測頻率，說明實際結構剛度小于設計剛度。

表1　自振特性理論分析

表2　測試頻率與理論頻率比較

(a)脈動第四跨1號測點加速度頻譜

(b)脈動第四跨2號測點加速度頻譜圖12　環境激振(脈動)測點頻譜

(2)橋梁車振頻率測試結果與分析見表3、圖13、圖14。

表3　主橋中跨跨中豎向位移的沖擊系數理論值及實驗結果

(a)時速30 km/h第四跨1號測點加速度頻譜

(b)時速30 km/h第四跨2號測點加速度頻譜圖13　跑車速度為30 km/h時各測點的加速度頻譜

根據現場考察，選取了具有代表性的兩跨作為實驗對象，分別采用跑車、環境激振兩種方法進行動力測試，并對測試數據進行了頻譜分析，全部數據采集與分析采用德國生產的國際公認的HBM動力測試與分析系統完成；同時用大型商用橋梁結構分析軟件Midas建立了動力分析模型，得到了各跨的理論分析頻率。將實測頻率值與理論分析值進行對照，得出實測頻率略小于理論分析頻率值，這主要是由于混凝土開裂，削弱了截面的面積，致使橋梁的剛度下降，從而導致實測橋梁頻率降低。

3結論

(1)試驗數據與理論數據基本一致，說明本文所采用橋梁車輛動力響應分析方法是可行的。

(2)理論數據較試驗數據偏大，說明橋梁結構剛度與其使用時間明顯相關，使用時間越長，剛度越低。故對超過一定年限的橋梁應定期進行維護加固處理。

(3)橋梁車輛車載動力響應受車輛流量大小、車輛間距、軸重、行駛速度、車輛的行駛位置、車輛的動力持性等多方面因素有關，在橋梁設計計算中，應綜合考慮各方面因素，取最不利情況進行設計。