試談數學中的特例在數學學習中的作用

什么是數學中的特例？特例就是特殊的例子，是一般規律在某些特殊條件下的結果，如零是特殊的有理數；正方形是特殊的矩形和菱形；全等三角形是相似比為1的相似三角形；直徑是特殊的弦；30°、45°、60°的角是特殊的角；等邊三角形是特殊的三角形；勾股定理是余弦定理的特例等等。

數學中特例的地位和作用是相當重要的，這不僅因為忽視特例會導致不易發覺的錯誤，而且特例常常是研究問題的起點。數學方法中的歸納法就是由特例到一般的推理，特例常常是一般結論的先導，一般情況是特例的發展與完善，由特例可進而研究一般規律，忽視特例往往會潛伏錯誤，注意特例才能使思考嚴謹完善，掌握了一般規律，再用以指導特殊問題的解決。如《周髀算經》開宗明義第一章就記載著周公與商高的對話。他們首先提出了勾股形的問題，商高說：“故折矩以為句廣三，股修四，徑隅五”。這說明，如果直角三角形的長度是3和4，那么它的斜邊必定是5；反之，如果三角形三個邊長的比為a：b：c=3：4：5，那么這個三角形必定是直角三角形，這就是勾股定理的一個特例。

那么，數學特例有什么作用呢？

一、特例用于反駁

一個數學結論的成立必須對其允許的各種情況都經過判斷之后才能確認，好比一臺機器由許多部件組成，必須當每個部件都運轉正常時，整個機器才能正常運轉，如若有一個部件出了問題，就不能說這臺機器完好。按照這種思想方法，要證明一個命題正確，理所當然必須對其各種情況加以證明，而要否定一個數學命題，只要能舉出一個不能令其成立的特例（即所謂的舉反例）進行反駁即可，這就是特例反駁法，歷史上許多有名的數學難題就是用這種方法解決的。

例1：已知|m|>|n|，能夠斷定m>n嗎？

解：不能斷定，只要舉一個反例來說明，例如，當m=-5，n=3時，|-5|>|3|，而-5<3。

例2：一學生證明一道幾何題有這樣一段：在四邊形ABCD中，AC、BD是對角線，因為AC=BD，所以四邊形是矩形。

顯然這個結論是靠不住的，就是說它不具有一般性，這時只要舉一反例進行反駁，就會加深理解為什么以上證明是不對的，如上圖所示，在四邊形ABCD中，AC=BD，而四邊形ABCD是等腰梯形，顯然不是矩形。

例3：“如果兩個三角形的三個內角和三條邊六個元素中有五個元素分別相等，那么這兩個三角形全等”。這種說法對嗎？

解：我們來構造一個反例對這個命題進行反駁，如構造⊿ABC和⊿DEF，如上圖，其中BC=DE=12，CA=EF=18，AB=8，DF=27，顯然有AB/DE=AC/DF=BC/EF=2/3，∴⊿ABC∽⊿DEF，∴

這兩個三角形滿足了五個元素分別相等的要求（注意：“分別”二字，不是“對應”），但是它們顯然不全等。

二、特例用于解題

例4：若n是大于2的自然數，則2n-1與2n+1中（ ）

（A）至多有一個是質數；

（B）至少有一個是質數；

（C）至多有一個是合數；

（D）恰好有一個是合數。

解：如果用正解比較麻煩，而假如取特殊值n=6，則26=64，2n-1=63，2n+1=65，而63和65均為合數，所以排除（B）（C）（D），故選（A）。

例5：已知x-y-z=0，y-z=0，xyz≠0，

那么1998x2+1999y2-2000z2/1998x2-1999y2+2000z2=______

解：取x=2，y=z=1，則有原式1998×4-1/1998×4+1=7991/7993。

例6：已知a（x-1）（x-2）+b（x-2）（x-3）+c（x-3）（x-1）=5x2-4x+1，求a、b、c的值。

解：這是恒等式，對于x允許的值均恒等。

令x=3，得2a=34，a=17，

令x=1，得2b=2，b=1，

令x=2，得-c=13，b=-13，若將原式左邊展開，利用多項式恒等來解，顯然是相當麻煩的。

三、特例用于驗證

一個結論的成立，應對其允許的所有各種情況均成立，所以我們以允許的特例代入也應該成立。如果不成立，就說明有錯誤，通過特例進行驗證，從而幫助我們發現錯誤。

例7：驗證習題答案的正確性，有的同學將代數式

化簡后，其答案為3/x，這個結果是否有錯誤。可根據代數式恒等變形的意義，取特殊值進行驗證，如令x=2，原式=1，而當x=2時，3/x=3/2，顯然1≠3/2，可見原題的答案是錯誤的。

（作者單位：貴州省惠水縣第二中學）