淺談變式練習(xí)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

【摘 要】變式練習(xí)主要有一題多變、一題多解、多題一解和開放性變式等形式，它對(duì)培養(yǎng)興趣、提高能力、發(fā)展思維具有重要作用。設(shè)置變式練習(xí)要有針對(duì)性、階段性、多樣性和創(chuàng)造性。

【關(guān)鍵詞】變式練習(xí)；數(shù)學(xué)教學(xué)；運(yùn)用

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開練習(xí)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也離不開練習(xí)。華羅庚認(rèn)為：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)而不做題，好比入寶山而空返”。精辟的說明了練習(xí)的重要作用。但是，如果搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，只是進(jìn)行單一的、重復(fù)的機(jī)械性練習(xí)，不僅對(duì)學(xué)生知識(shí)與思維能力發(fā)展沒有好處，而且還會(huì)使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)逐步喪失興趣。實(shí)踐表明變式練習(xí)能讓學(xué)生體驗(yàn)到解決問題的樂趣，因而積極主動(dòng)地進(jìn)行分析、探索，進(jìn)而加深對(duì)知識(shí)的理解，提高思維能力與解決問題能力。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何有效的選擇練習(xí)，編制練習(xí)是每一位數(shù)學(xué)教師應(yīng)該認(rèn)真思考的問題。本文將結(jié)合我的教學(xué)實(shí)踐，就變式練習(xí)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用談?wù)勎业拇譁\認(rèn)識(shí)。

1.變式練習(xí)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的必要性

變式練習(xí)是指變換數(shù)學(xué)問題的條件或結(jié)論，改變問題的形式或內(nèi)容，變換問題的解決方法，變更問題中的非本質(zhì)性，使問題的本質(zhì)不變的練習(xí)，它在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要作用。

變式練習(xí)能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。心理學(xué)告訴我們，在學(xué)習(xí)中，若只有一種分析器連續(xù)使用，容易讓學(xué)生失去注意。而運(yùn)用多種分析器則可以提高大腦皮層的興奮性，使注意得以較長時(shí)間的保持。因此，運(yùn)用變式練習(xí)能使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)保持濃厚的興趣。

變式練習(xí)能夠提高學(xué)生的解題技能。變式練習(xí)可將一個(gè)問題進(jìn)行引申和變化，有利于學(xué)生歸納解題方法，從不同角度分析解題方法，尋求解題的途徑，提高學(xué)生的解題技能。

變式練習(xí)能夠開闊學(xué)生的思維，提高探索能力。教師通過變式練習(xí)，改變問題的背景、條件、結(jié)論，讓學(xué)生去思考、討論，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神。通過一題多解，從多角度分析問題，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)散思維，開闊了思路。

變式練習(xí)能夠充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位。課堂上教師通過變式練習(xí)，與學(xué)生一起探討，學(xué)生之間通過小組也可以一起討論，真正體現(xiàn)了教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的課堂教學(xué)思想。

可見，只是把某個(gè)知識(shí)點(diǎn)涉及的習(xí)題翻來覆去的做，也能收到效果。但是，這樣會(huì)影響學(xué)習(xí)興趣，也不利于解題能力與思維能力的培養(yǎng)。因此，在教學(xué)中應(yīng)使用變式練習(xí)，而且多多益善。

2.變式練習(xí)的形式及其在教學(xué)中的運(yùn)用

變式練習(xí)主要有以下四種形式：一道習(xí)題多種變化、一道習(xí)題多種解法、一種方法解決多個(gè)問題及開放性變式問題等。

2.1一題多變，是變式練習(xí)最常用的方法。對(duì)原問題的條件或結(jié)論進(jìn)行改造，逐步引導(dǎo)學(xué)生向縱深伸展，從而完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，擴(kuò)展學(xué)生的思維能力。

2.1.1變換問題的條件

例1：（人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1P50）一動(dòng)圓M與兩圓C1：（x+3）2+y2=4和C2：（x-3）2+y2=9都外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程。

此題點(diǎn)M的軌跡是以C1、C2為焦點(diǎn)實(shí)軸長為1的雙曲線的左支。學(xué)生解完該題后，我引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行變式研究：

變式1 把都外切改為都內(nèi)切。

軌跡變?yōu)橐訡1、C2為焦點(diǎn)實(shí)軸長為1的雙曲線的右支。

變式2 把都外切改為與C1外切，與C2內(nèi)切。

軌跡為以C1、C2為焦點(diǎn)實(shí)軸長為5的雙曲線的右支。

變式3 把都外切改為一個(gè)外切，一個(gè)內(nèi)切。

軌跡變?yōu)橐訡1、C2為焦點(diǎn)實(shí)軸長為5的雙曲線。

變式4 把圓C2中的9改為100，并把都外切改為都相切。

此時(shí)兩圓由相離變?yōu)閮?nèi)含，軌跡也由雙曲線變?yōu)闄E圓。

變式5把圓C2中的9改為4。

些時(shí)兩圓的半徑相等，軌跡由雙曲線變成了一條直線。

通過對(duì)例1的研究，既充分復(fù)習(xí)了兩圓的位置關(guān)系，又深刻揭示了利用圓錐曲線定義求軌跡方程的一般方法，讓學(xué)生回味無窮。

2.1.2變換問題的結(jié)論

例2：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AC⊥BC，其中AA1=4，B1C1=4，A1C1=3，D是AB的中點(diǎn)。

（1）求證：AC⊥BC1；（2）求證：AC1∥平面CDB1；

這是一道簡單的立方體幾何證明問題，學(xué)生很快就解完了。在不改變題目條件的情況下，我引導(dǎo)學(xué)生自己提出問題并解答。學(xué)生熱烈討論，并提出了以下各種問題。

變式1 求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值。

變式2 若E為A1B1的中點(diǎn)，求證：平面AC1E∥平面CDB1。

變式3 求證：平面ABC1⊥平面AB1C

變式4 求二面角B1-CD-B大小的余弦值。

變式5 求點(diǎn)B到平面CDB1的距離。

變式6 求直線AA1與平面CDB1所成角的正弦值。

變式7 線段AB上是否存在一點(diǎn)F，使得直線A1F⊥平面CDB1，若存在求出F的位置，若不存在說明理由。

這樣從一道題，引出一串題，能幫助學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，真正收到由表及里、舉一反三的效果。

2.2一題多解，是變式練習(xí)的重要手段。通過一題多解，讓學(xué)生在探索不同的解法過程中，溝通知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯聯(lián)系，提高解題能力。

例3：求（x2+4x+3）4展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)。

這是上完二項(xiàng)式定理這一節(jié)后，給學(xué)生布置的一道習(xí)題，我要求學(xué)生用多種解法求解。

解法一：（x2+4x+3）4=[x2+（4x+3）]4

=C40x8+C41x6（4x+3）+C42x4（4x+3）2+C43x2（4x+3）3+C44（4x+3）4

上式中只有最后一項(xiàng)會(huì)出現(xiàn)含的項(xiàng)，易求得的項(xiàng)的系數(shù)為C44C43·4·33=432

解法二：（x2+4x+3）4=（x+1）4（x+3）4，則x項(xiàng)的系數(shù)是由（x+1）4展開式的一次項(xiàng)系數(shù)乘以（x+3）4展開式的常數(shù)項(xiàng)與（x+1）4展開式的常數(shù)項(xiàng)乘以（x+3）4展開式的一次項(xiàng)系數(shù)之和構(gòu)成，即x項(xiàng)的系數(shù)為C43·34+C43·33=432

解法三：（x2+4x+3）4=（x2+4x+3）·（x2+4x+3）·（x2+4x+3）·（x2+4x+3）

則（x2+4x+3）4的展開式中的每一項(xiàng)是由上面四個(gè)因式各出一項(xiàng)組成，所以項(xiàng)的系數(shù)為從其中一個(gè)因式中的一次項(xiàng)系數(shù)4與其它三個(gè)因式中的常數(shù)3組成。由此x項(xiàng)的系數(shù)為C41·4·33=432

解法四：分析可發(fā)現(xiàn)（x2+4x+3）4中的x2不會(huì)對(duì)展開式中的x項(xiàng)系數(shù)產(chǎn)生影響，所以（x2+4x+3）4展開式中的x項(xiàng)的系數(shù)與（4x+3）4展開式中的x項(xiàng)的系數(shù)相同，因此只需求（4x+3）4展開式中的x項(xiàng)的系數(shù)，即系數(shù)為C43·4·33=432

解法五：設(shè)（x2+4x+3）4=a0+a1x+a2x2+…+a8x8

兩邊求導(dǎo)數(shù)得：4（x2+4x+3）3（2x+4）=a1+2a2x+…8a8x7

令x=0得4·33·4=a1，即x項(xiàng)的系數(shù)為4·33·4=432

以上五種解法是和學(xué)生共同探討得出的，特別是解法四和解法五，解法非常巧妙，引來學(xué)生一片驚嘆。通過不同解法的分析與比較，可幫助學(xué)生熟練掌握知識(shí)，擴(kuò)寬解題思路，提高解題能力。

2.3利用多題一解，把有關(guān)聯(lián)的知識(shí)、技能有機(jī)地聯(lián)系起來，以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)與方法的理解，培養(yǎng)求同存異的思維能力。

2.3.1以某種解題方法為核心設(shè)置多題一解

例4：（1）函數(shù)f（x）=x3-3x+a的圖像與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍。

（2）函數(shù)f（x）=x3-3x+a有三個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍。

（3）方程x3-3x+a=0有三個(gè)不同的根，求a的取值范圍。

（4）直線y=3x-a與曲線y=x3有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍。

上述四道習(xí)題雖然形式有所不同，但解題方法是一樣的，都是用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間與極值，并結(jié)合圖像求解。讓學(xué)生在解題中感悟共性，能夠收到了良好的教學(xué)效果。

2.3.2以某個(gè)知識(shí)點(diǎn)為主線設(shè)置多題一解

例5：求證：（1）（人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1P81）過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切。

（2）以拋物線y2=2px上任意一點(diǎn)M與焦點(diǎn)F連線MF為直徑的圓必與y軸相切。

（3）以橢圓上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的連線為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓相切。

（4）以雙曲線上任意一點(diǎn)M到相應(yīng)焦點(diǎn)連線為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切。

這一題組，其方法均是運(yùn)用梯形或三角形中位線定理及圓錐曲線定義解決。在復(fù)習(xí)了圓錐曲線定義的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步復(fù)習(xí)了利用定義解題的技巧。

在教學(xué)中，教師應(yīng)重視對(duì)這類題目的收集與編制，引導(dǎo)學(xué)生尋找通解通法，感悟它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。

2.4開放性變式題的教學(xué)，擺脫了“教師示范例題，學(xué)生模仿例題”的模式，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索能力，發(fā)展創(chuàng)造性思維能力。

例6：（人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1P80）已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），試探求頂點(diǎn)C的軌跡。

這是一道給定條件，探求結(jié)論的開放性練習(xí)。師生共同探討，得出頂點(diǎn)C的軌跡與m的范圍有關(guān)，軌跡可以是圓，可以是橢圓，也可以是雙曲線。分析完這題后，我對(duì)該題進(jìn)行改編，把原題的一個(gè)條件去掉，讓學(xué)生自己添上一個(gè)條件，并根據(jù)所添加的條件，求出結(jié)論。改編如下：

已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），請(qǐng)你添加一個(gè)恰當(dāng)?shù)臈l件，并求出頂點(diǎn)C的軌跡方程。

在這節(jié)課上，學(xué)生討論熱烈，課堂氣氛活躍，所添加的條件也豐富多彩，結(jié)論也各不相同。以下是學(xué)生添加的條件，展示其中的一部分：

（1）|AC|+|BC|=12；

（2）|AC|-|BC|=m（0

（3）AC與BC所在直線的斜率之和為1；

（4）直線AC的斜率是直線BC斜率的2倍；

（5）△ABC的周長為m（m>20）；

（6）△ABC的面積為5；

（7）頂點(diǎn)C到頂點(diǎn)A、B的距離之比為2。

這種開放性練習(xí)，讓學(xué)生直接參與到數(shù)學(xué)習(xí)題形成的過程之中，能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)參與的積極性。對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)造能力具有很好的作用。在教學(xué)中，我們可經(jīng)常設(shè)計(jì)開放性問題，使學(xué)生思維活躍，思路廣闊。

3.變式練習(xí)要注意的幾個(gè)原則

變式練習(xí)要有針對(duì)性。在編制變式練習(xí)時(shí)，要充分考慮教學(xué)的目的、教學(xué)要求以及學(xué)生的實(shí)際情況。針對(duì)不同程度學(xué)生的特點(diǎn)，編制出圍繞教學(xué)目標(biāo)的變式練習(xí)。

變式練習(xí)要有階段性。學(xué)生學(xué)習(xí)有三個(gè)階段，即初步練習(xí)階段、熟練掌握階段、靈活應(yīng)用階段。教師應(yīng)準(zhǔn)確把握各個(gè)階段的特點(diǎn)，按照這三個(gè)階段的順序，適時(shí)、適量的進(jìn)行變式練習(xí)。

變式練習(xí)要有多樣性。變式練習(xí)就是為了克服練習(xí)的形式單一而設(shè)置的，所以編制練習(xí)要注意多樣性，不斷變換問題的條件或結(jié)論，轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容。

變式練習(xí)要有創(chuàng)造性。變式練習(xí)的特點(diǎn)決定了它能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而產(chǎn)生解決數(shù)學(xué)問題迫切要求。教師應(yīng)該抓住這一有利時(shí)機(jī)，在練習(xí)中適當(dāng)增加創(chuàng)造性的因素，提高學(xué)生探索數(shù)學(xué)問題的積極性。

以上是我對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)變式練習(xí)的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐?？傊?，我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)充分應(yīng)用變式練習(xí)，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)求知欲望，開闊思路，提高解題能力都具有重要作用。

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