淺析二次函數在高中教學中的應用

【摘 要】在高中階段的學習過程中，函數思想貫穿始終，而可以說對高中每個知識點的學習都能看到二次函數的身影，在每年數學高考中二次函數占的比例都很高。因此學好二次函數尤為重要。本文從二次函數的基本概念和基本性質著手，并對在不等式、導數、解析幾何中的應用進行了一定闡述，希望能夠對在高中辛勤付出的廣大教育工作者帶來些許幫助。

【關鍵詞】二次函數；基本性質；不等式；導數；解析幾何

一、深抓概念，牢固掌握二次函數基礎知識

在初中階段就對函數的定義進行了相應的闡述，指出而隨著高中知識的深入，對函數的概念通過從映射的角度進行了從新解釋，但仍具有普通函數的基本素和特性等。本文以二次函數的概念和基礎知識為例，加固對基礎知識概念的理解。即二次函數是從一個集合A（定義域）按照一定的對應關系f映射到集合B（值域）中，使集合B中元素y與集合A中的元素x按照y=ax2+bx+c（a≠0）的關系對應，記為f（x）=ax2+bx+c（a≠0），學生只有深刻掌握基本概念后才能做到更好的應用。例如對以下問題的求解：

類型I：已知f（x+1）=x2-4x+1求f（x）

分析：對于此例題的求解如果充分掌握理解函數的概念定義，找出那個是自變量，那個是因變量，并判斷出它們之間的對應關系，那么此問題便很好解決。因此可從兩個方面入手結果此問題：①將所給表達式通過配方法轉換成x+1的表達式：f（x+1）=（x+1）2-6（x+1）+6，然后將函數中的自變量x+1用x替代，即為所求表達式f（x）=x2-6x+6。②直接用變量換元的方法假設t=x+1，那么x=t-1，帶入所給表達式可知f（t）=t2-6t+6，因此f（x）=x2-6x+6。

二、二次函數基本性質的應用

在高中階段對基本性質的考察主要圍繞著二次函數的單調性、奇偶性和有界性（最值問題）等方面，而對單調性和有界性的考察最為常見，因此，必須讓學生對基本性質的應用熟練掌握，尤其是單調性和有界性相結合的系統考察。

類型II：已知函數f（x）=x2-2x+3，求函數在區間[m，m+1]內的最小值。

分析：由函數圖像可知，對稱軸為x=1，在區間（-∞，1]上是遞減函數，在[1，+∞）上是增函數，而區間[m，m+1]中m的數值不確定，那么應當對所求區間的大小和1進行分類討論，以便求出最小值點。

解：根據函數f（x）的圖像可知，對稱軸為x=1，那么f（x）在x=1時取得最小值為fmin（x）=f（1）=2。當m<0時，那么fmin（x）=f（m+1）=m2；當0≤m≤1時，那么fmin（x）=2；當m>1時，那么fmin（x）=f（m）=m2-2m+1。

三、二次函數在二次方程和二次不等式中的應用

在高中階段針對求解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的問題比較普遍，在求解過程中往往轉化成函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的零點求解問題，而對于二次不等式的求解問題主要是先轉換成二次方程根的求解，然后在坐標軸上畫出根的位置，最后根據所求不等式的范圍確定所取x值的范圍，即是所求不等式的范圍，但值得注意的是在求解過程中一定要求學生對二次函數定義域、值域、單調性等概念的熟練掌握理解透徹。

類型III：已知函數f（x）=（4-3a）x2-2x+a，若0≤x≤1，x為自變量，a為常數，證明當a>■時，f（x）≤a。

分析：根據所給的已知條件，判斷出4-3a和0之間的關系，然后確定函數圖像的確切開口方向和精確的對稱軸位置，然后利用二次函數的單調性和有界性進行求解分析。

證明：根據已知條件a>■可知，4-3a<0，且函數f（x）的對稱軸為x=■<0，那么當x的取值小于等于對稱軸時，函數f（x）在相應的確定區間內單調遞增函數，當x的取值大于對稱軸時，函數f（x）在相應的區間上是遞減函數，故函數f（x）在區間[0，1]上時為單調遞減函數，即f（x）≤fmax（x）=f（0）=a。

四、二次函數在導數中的應用

針對二次函數在導數中的應用，考察最多的就是極值、最值問題，但必須注意在特殊點的可導性問題，這也是很多學生最容易出現問題的地方。

類型IV：已知函數f′（x）=3x2+2x，求f（x）在何處取極小值

分析：題目已經給出了函數f（x）的表達式，只需求出f′（x）=0的點和判斷出在不同范圍內的單調性即可求出函數f（x）的極值。

解：當f′（x）=3x2+2x=0時，解得x1=0，x2=-■，當x在（-∞，-2/3）區間時，f′（x）>0，故函數f（x）在相應的區間上單調遞增；當x∈（0，-■），f′（x）<0，故函數f（x）在相應的區間上單調遞減；x∈（0，+∞）時，f′（x）>0，故函數f（x）在相應的區間上單調遞增，因此函數f（x）在x=0時取極小值f（0）=0。

五、二次函數在解析幾何中的應用

二次函數在解析幾何中的應用在高考題中往往出現在壓軸題或高檔題中，主要考察位置關系、最值和軌跡問題，在解決直線和所給曲線的位置關系問題時，主要是考察兩個曲線方程組成的二次函數有無實數根或幾個實數根的問題，應當注意的是，針對此綜合性的問題應當充分利用好數形結合和分類討論的方法。

類型V：探究直線y=kx+1和雙曲線x2-y2=1交點的個數。

分析：根據所給的已知條件，此題目主要考察的是交點的個數，實際上討論的組成的一元函數方程根的問題，然后充分利用韋達定理和分類討論的方法便可解答。

解：由已知條件，將上述兩個方程聯立消去自變量y得（1-k2）x2-2kx-2=0。那么當1-k2=0，故組成的函數方程只有一個根，在直線和雙曲線的公共交點處取得。當1-k2≠0時，根據韋達定理可知，判別式△=b2-4ac=8-4k2；①當△=8-4k2>0時，組成的二次函數有兩個實數根，故直線和雙曲線有兩個交點；②當△=8-4k2=0時，組成的二次函數有且只有一個實數根，且在直線和雙曲線的切點出取得；③當△=8-4k2<0時，組成的二次函數沒有實數根，那個直線和雙曲線沒有交點。

六、結束語

二次函數貫穿于初高中的整個學習階段，且在每年高考中都已較高的頻率出現，且考試的重點往往將二次函數結合別的相關知識點結合起來進行的考察。故在高中能熟練掌握運用二次函數的知識點極為重要。本文列舉的二次函數相關應用例子，希望能對學生的學習起到幫助作用。

【參考文獻】

[1]董金茂.二次函數在高中數學教學中的應用[J].吉林教育，2016第1期P15

[2]李繼仙.二次函數在高中數學教學中的應用[J].讀與寫（下旬刊），2015.11