從一道反比例函數題談比較函數值的大小

【摘 要】在初中所學的幾個函數中，只有反比例函數對自變量x有要求，即x≠0。其圖象雙曲線與坐標軸不相交，因此在性質中就特別強調：“在圖象所在的每個象限內”這一條件。若忽略這個條件，就會給解題帶來麻煩，這也說明了數學的嚴密性。【關鍵詞】反比例函數；雙曲線；增減性；自變量x的取值

一、引言

新新教材的最大特點就是體現素質教育的要求，重視人的發展，提倡課程與生活的聯系，以數學源于生活又用于生活為主線，著重培養學生的創新意識和動手能力，培養學生學數學、用數學的意識，使其養成良好的學習習慣。因此，我們要鼓勵學生主動參與，主動思考，主動探究，主動實踐；讓學生真正成為學習的主人。

二、背景和遇到的問題

在八（下）第十一章反比例函數的教學中，我給出的例1是：已知x1，y1和x2，y2是反比例函數y=-（a≠0）的兩對自變量與函數值，x1>x2>0，則0____y1____y2（填>、<、=）；學生基本上能正確解決，但我相信，有許多同學都是一知半解的；所以例2是：下列函數中，y隨x的增大而減小的是____；

A.y=-3x+4 B.y=C.y=- D.y=3x-2

生1：B也對，A和B都對。

師：同意生1的觀點嗎？

生：同意！

師：那誰來幫老師分析一下，為什么這兩個解都對？

生2：因為一次函數y=kx+b，當k<0時，y必定隨著x的增大而減少，而A中，y=-3x+4，k=-3<0，所以A正確。

師：對嗎？

生：對。

師：B呢？

生3：反比例函數y=與正比例函數y=kx的性質相反，當k>0時，y的值隨x的增大而減小。B中，y=，k=4>0，所以B也正確。

師：講的很好。我們不妨回到書本第129頁，一起仔細地研讀反比例函數的性質。

生：反比例函數y=（k≠0）的性質：當k>0時，在圖象所在的每一象限內，函數值y隨自變量x的增大而減小；當k<0時，在圖象所在每一象限內，函數值y隨自變量x的增大而增大。

師：剛才生3的表述與書本上的表述有什么不同？

生4：書上詳細地講到，在圖象所在的每一個象限內。

師：這句話到底有沒有必要呢？我們一起來看反比例函數的解析式及其圖象。y=k≠0）中，自變量x必須滿足什么條件？

生：x≠0。

師：一次函數有沒有這樣的限制條件？

生：沒有。

師：體現在圖象上又有什么區別呢？

生：一次函數的圖象是一條直線，x可以取任意值。

師：對，但反比例函數的雙曲線呢？

如圖，當k>0時，圖象分布在一、三象限。試問：圖象的兩個分支可不可能與兩線標軸相交？

生：不可能。因為x≠0，y≠0。

師：因此兩個分支是獨立的。k>0，y的值隨著x的增大而減小，但必須在同一分支上，即在圖象所在的每一個象限內才可以比較大小。所以例2中，該選擇A。

師：若讓B也正確，該如何修改？

生：加上x>0或x<0。

師：講得很好，回頭來看例1，你注意到例1中x1>x2>0了嗎？讓我們試一試。

圖象分布在二、四象限，x1>x2>0，說明圖象只研究位于第四象限的那一支，y1>y2，且0>y1>y2。

三、問題的解決

作為教師，我們都知道，思維的發展過程是從發現問題開始，其次是回答問題；如鄭板橋老先生說過：“學問二字，需要拆開來看，學是學，問是問，有學無問，雖讀萬卷書，只是一條鈍漢耳?！彼詫W生對數學問題的發現，可以說，是數學創新教育的前提，學生應成為“提出問題——分析問題——解決問題”這個認知過程的主體，應享有這種思維活動的權利和機會。

《數學課程標準》明確指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶”，教師應當幫助學生在自主探究和合作交流的過程中真正理解和掌握數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。愛因斯坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要。”發現問題，大膽懷疑，課堂上把“提問權”還給學生，并對他們的提問給予積極的鼓勵、引導，對激發學生的探索動機，培養學生的思維能力會起到重要作用。

四、反思

在這次反比例函數的教學事件中，我深刻地認識到了以下幾點：

（一）教材編寫的嚴謹性，上面例2的教學就深刻地說明了一點，雖然只是一個自變量x≠0的取值，但它們將會涉及到整個函數值的大小比較。

（二）課堂模式，更多地采取討論、辯論等方式，讓學生積極主動地參與到教學中，學習效果會更好。

（三）在課堂教學中，我們應積極主動地對課程進行適當的修正和調適，設計出新穎的教學案例，把枯燥的教學知識轉化為激發學生求知欲望的刺激物，引發他們的進取心，這也是衡量課程實施效果的一個重要因素。

我相信，通過不斷地嘗試和努力；我們總會有收獲。

【參考文獻】

[1]中考備戰策略（上），山西：書海出版社，2008年

[2]數學教育新視野，浙江：浙江大學出版社

[3]浙江省初中畢業生學業考試說明，浙江：浙江攝影出版社

[4]新課程教學設計，北京：首都師范大學出版社