數列中探索與存在性問題例析

數列探索性問題主要表現為存在型，解答的一般策略：先假設所探求對象存在或結論成立，以此假設為前提條件進行運算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設不成立，從而得到“否定”的結論，即不存在.若推理不出現矛盾，能求得在范圍內的數值或圖形，就得到肯定的結論，即得到存在的結果.而要確定范圍內的數值，則往往涉及不定方程的正整數解問題.

例1（2014年高考重慶卷理）設a1=1，an+1=a2n-2an+2+b（n∈N*）.

（1）若b=1，求a2，a3及數列{an}的通項公式.

（2）若b=-1，問：是否存在實數c使得a2n

解：（1）方法一：a2=2，a3=2+1.

再由題設條件知（an+1-1）2=（an-1）2+1.

從而{（an-1）2}是首項為0，公差為1的等差數列，

故（an-1）2=n-1，即an=n-1+1（n∈N*）.

方法二：a2=2，a3=2+1.

可寫為a1=1-1+1，a2=2-1+1，a3=3-1+1.因此猜想an=n-1+1.

下面用數學歸納法證明上式.

當n=1時，結論顯然成立.

假設n=k時結論成立，即ak=k-1+1，則

ak+1=（ak-1）2+1+1=（k-1）+1+1=（k+1）-1+1，

這就是說，當n=k+1時結論成立.

所以an=n-1+1（n∈N*）.

（2）方法一：設f（x）=（x-1）2+1-1，則an+1=f（an）.

令c=f（c），即c=（c-1）2+1-1，解得c=14.

下面用數學歸納法證明命題a2n

當n=1時，a2=f（1）=0，a3=f（0）=2-1，所以a2<14

假設n=k時結論成立，即a2k

易知f（x）在（-∞，1]上為減函數，從而c=f（c）>f（a2k+1）>f（1）=a2，即1>c>a2k+2>a2.

再由f（x）在（-∞，1]上為減函數，得c=f（c）

故c

綜上，存在c=14使a2n

方法二：設f（x）=（x-1）2+1-1，

則an+1=f（an）.

先證：0≤an≤1（n∈N*）.①

當n=1時，結論明顯成立.

假設n=k時結論成立，即0≤ak≤1.

易知f（x）在（-∞，1]上為減函數，從而0=f（1）≤f（ak）≤f（0）=2-1<1.

即0≤ak+1≤1.這就是說，當n=k+1時結論成立.故①成立.

再證：a2n

當n=1時，a2=f（1）=0，a3=f（a2）=f（0）=2-1，所以a2

假設n=k時，結論成立，即a2k

由①及f（x）在（-∞，1]上為減函數，得

a2k+1=f（a2k）>f（a2k+1）=a2k+2，

a2（k+1）=f（a2k+1）

這就是說，當n=k+1時②成立.所以②對一切n∈N*成立.

由②得a2n

因此a2n<14.③

又由①②及f（x）在（-∞，1]上為減函數，得

f（a2n）>f（a2n+1），即a2n+1>a2n+2.

所以a2n+1>a22n+1-2a2n+1+2-1，解得a2n+1>14.④

綜上，由②③④知存在c=14使a2n

點評：存在性問題指的是命題的結論不確定的一類探索性問題，解答此類題型一般是從存在的方面入手，尋求結論成立的條件，若能找到這個條件，則問題的回答是肯定的；若找不到這個條件或……