直線與圓錐曲線的綜合應用□于泳

圓錐曲線將幾何與代數進行了完美結合，直線與圓錐曲線的題型涉及函數與方程、數形結合、化歸等數學思想方法.將幾何問題轉化為易于計算的代數問題，這為研究問題提供了許多便利；但也不可避免地造成許多計算的繁瑣，同時對運算能力提出較高要求.圓錐曲線作為高考必考內容常被同學們看成一道分水嶺，跨過去往往數學就能取得高分，如何在有限的答題時間內取得理想的答題效果，除了練就扎實的計算、化簡等基本功之外還要了解減少運算量的一些常用策略，扎實備考.現舉例說明.

一、回歸定義，善用幾何

解析幾何中，我們主要運用代數的方法研究幾何問題，但很多時候，若能充分挖掘利用圖形的幾何特征，則會將復雜問題簡單化.

例1已知橢圓x22+y2=1的右焦點為F，右準線為l，過點F的直線m與橢圓交于A，B兩點.若AF=3FB，求直線m的方程.

法一：設A（x1，y1）、B（x2，y2），F（1，0），AF=（1-x1，-y1），FB=（x2-1，y2），由AF=3FB

得1-x1=3（x2-1）

-y1=3y2，即x1=-3x2+4

y1=-3y2，

又因為x212+y21=1，x222+y22=1，

所以（-3x2+4）22+（-3y2）2=1，（1）

9x222+9y22=9，（2），

由（2）-（1）得24x2-162=8，

解得x2=43，進一步解得y2=13或y2=-13，所以直線m的斜率為k=1或k=-1，所以直線m的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.

評注：該解法是從代數角度——設未知數列方程組的辦法求出直線上點的坐標，從而求出直線方程的斜率，重在計算.實際上，AB是過焦點的直線，可以從幾何角度求出直線的傾斜角，請看法二.

法二：如圖，分別自A、B作右準線的垂線，垂足分別為C、D，過B作AD的垂線，垂足為E，設AF=3x，BF=x，由橢圓的第二定義知AFAD=BFBC=e，AD=3xe，BC=xe，AE=2xe，e=22，在Rt△AEB中，AB=4x，cos∠BAE=AEAB=2xe4x=12e=22，∠BAE=45°，所以直線m的斜率為1，由橢圓的對稱性可知m的斜率也可為-1，所以直線m的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.

評注：該法重在挖掘圖中的幾何性質，利……