幾何綜合測試卷

一、填空題

1.已知a，b是兩條不重合的直線，α，β，γ是三個不重合的平面，給出下列命題：

①若α∥β，aα，則a∥β；②若a∥α，b∥α，則a∥b；

③若α⊥β、β⊥γ，則α∥γ；④若a⊥α，a⊥β，則α∥β.

其中正確的命題的序號是.

2.離心率為53且與橢圓y240+x215=1有公共焦點的雙曲線方程為.

3.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為.

4.設過拋物線x2=py（p≠0）的焦點的一條直線和拋物線有兩個交點，且兩交點的橫坐標為x1，x2，則x1x2=.

5.已知橢圓x24+y23=1，F1，F2為其左、右焦點，P為橢圓上一點，若PF2=32，則PF1=.

6.若雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的離心率為2，它的焦點到漸近線的距離等于1，則該雙曲線的方程為.

7.設橢圓與雙曲線y2-3x2=3共焦點，且經過點（2，2），則該橢圓的離心率為.

8.已知單位圓被兩條平行直線l1：x-y+a=0，l2：x-y+b=0分成四段長度相等的圓弧，則a2+b2=.

9.若圓C過直線2x+y+4=0和圓（x+1）2+（y-2）2=4的交點，則圓C面積的最小值為.

10.如圖，點A是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）右頂點，過橢圓中心的直線交橢圓于B、C兩點，滿足BC=2AB，AB⊥BC.則該橢圓的離心率為.

11.已知圓C1：x2+y2=4和圓C2：x2+y2-ay-6=0（a>0）的公共弦長為23，則a=.

12.橢圓x212+y23=1的焦點為F1，F2，點P在橢圓上，如果線段PF1交y軸于Q，且PQ=13PF1，則PF1PF2=.

13.△PAB中，AB=4，PA=3PB，則該三角形面積的最大值為.

14.橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右頂點為A，右焦點為F，P是橢圓上在第一象限內的一點，且PF⊥x軸，B為橢圓的下頂點，BP交x軸于Q，且PA=PQ，則橢圓的離心率為.

二、解答題

15.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為BD的中點，M是B1C1的中點.

（1）求證：平面OCC1⊥平面ODD1；

（2）求證：平面ABM∥平面OC1D1.

16.如圖，F1，F2分別為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）左、右焦點，A是橢圓C的上頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，且滿足∠F1AF2=90°.

（1）求橢圓C的離心率；

（2）若△ABF1面積為4，求橢圓C的標準方程.

17.有一隧道內設雙行線公路（中間有護欄隔開），其截面是由一長方形ABCD和一以CD為直徑的半圓弧構成，如圖所示.已知AB=10m，AC=2m.要保證安全，要求車輛（車輛截面設為矩形）頂部在豎直方向距離隧道頂部的距離和車輛距離護欄距離均不小于0.5m.（護欄寬度忽略不計）