借助整體思想巧解數(shù)學(xué)題的幾種嘗試

從初中到高中的這些年，數(shù)學(xué)一直是我的最?lèi)?ài)，我的數(shù)學(xué)成績(jī)也一直名列前茅。在平時(shí)的學(xué)習(xí)生活中，總有不少同學(xué)慕名前來(lái)“取經(jīng)”。我和同學(xué)們經(jīng)常談到的一點(diǎn)，便是整體思想。在解答數(shù)學(xué)題的過(guò)程中，有一些數(shù)學(xué)上的難題，需要我們從局部入手，巧妙地借助某些特殊情況，找到逐個(gè)擊破的捷徑，達(dá)到逐一解決的效果。很明顯，這是一種從局部入手的解題技巧，這種思維習(xí)慣與解題思路，在中學(xué)數(shù)學(xué)中極為常見(jiàn)且運(yùn)用普遍。不過(guò)我今天想與大家一起探討的是與之相反的一種思路。有時(shí)遇到的一些數(shù)學(xué)難題，需要把注意力與思考點(diǎn)放在問(wèn)題的全局結(jié)構(gòu)之上，用整體思維或全局意識(shí)去考慮并解決問(wèn)題。這樣做，不僅思路非常明晰，演算過(guò)程也會(huì)變得極為簡(jiǎn)單。按這種思路來(lái)解答數(shù)學(xué)題，不僅方便解題，還有利于培養(yǎng)我們的創(chuàng)新思維與解決一些較復(fù)雜問(wèn)題的能力，尤其是在解答競(jìng)賽類(lèi)考題時(shí)很有用處。下面我就結(jié)合自己多年來(lái)的一些嘗試，以四道簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題為例，來(lái)解讀一下整體思想的解題技巧。

一、化零為整、高瞻遠(yuǎn)矚的解題法

例1：A、B兩地之間有一條道路，有一部分是上坡路，另一部分是下坡路，騎自行車(chē)走下坡路比走上坡路每小時(shí)多走4千米，已知騎自行車(chē)從A地到B地需要3小時(shí)40分鐘，而從B地回到A地可以少用20分鐘，如果A、B之間的路程為48千米，分別求騎自行車(chē)下坡、上坡時(shí)的速度以及從A地到B地的過(guò)程中上坡、下坡的路長(zhǎng)。就這道應(yīng)用題來(lái)看，按照常規(guī)解法可設(shè)上坡速度為X千米/小時(shí)，上坡路長(zhǎng)為Y千米，則下坡速度為（X+4）千米/小時(shí)，上坡路長(zhǎng)為（48-Y）千米。依照題意，我們可以得出下面的算式：

然后解這個(gè)方程組求解，不過(guò)我們不難發(fā)現(xiàn)，這樣解題是比較繁瑣的。按上面我所講的，如果換一種思路，從全局的角度來(lái)思考，往返一次兩段上坡路共長(zhǎng)48千米，兩段下坡路共長(zhǎng)也是48千米，而往返一次的總時(shí)間為 + =7（小時(shí)），因而可列出方程 ，解得X1=12，X2= - （不合題意，舍去）。將X=12代入（1）得Y=32所以X+4=16 48-Y=16。相比之下，第二種解題方法明顯更便捷。

二、整體求值、設(shè)而不求的解題法

例2：有甲、乙、丙三種貨物，若購(gòu)甲3件、乙7件、丙1件共需315元，若購(gòu)甲4件、乙10件、丙1件共需420元，現(xiàn)甲、乙、丙各購(gòu)一件共需多少元？這類(lèi)考題在生活中極為常見(jiàn)，在數(shù)學(xué)運(yùn)算中也經(jīng)常遇到。如果分別求出甲、乙、丙的單價(jià)，則由于未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于所列方程的個(gè)數(shù)，問(wèn)題是難以解決的。如果我們還是借助上面所講到的整體思維，從整體上來(lái)考慮，只設(shè)不求，會(huì)使問(wèn)題迎刃而解。如果設(shè)甲x元/件，乙y元/件，丙z元/件，根據(jù)題意，大家不難得出下面的算式：

由①得x+y+z+2 （x+3y） =315 （3）；由②得x+y+z+3 （x+3y）=420 （4），（3）×3-（4）×2得x+y+z=105（元）

三、整體代換、化難為易的解題法

例3：已知x= ，求x5-5x的值，解答此題時(shí)，若將x的值直接代入計(jì)算，則顯得復(fù)雜繁瑣，運(yùn)算量也非常大，稍有失誤，便會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果。如果將條件稍加變形，整體代入，演算會(huì)就得簡(jiǎn)單，收到化難為易的效果。

由x= ，得2x= ，即2x+1= ；兩邊平方整理得x2+x-1=0；∴x2=1-x；x2+x=1，∵x5-5x=x（ x4-5） =x[（ 1-x）2-5]=x[x2-2x-4]=x[（1-x）-2x-4]=-3x（ x+l）=-3（x2+x）=-3×1=-3四是聚零為整、巧辟捷徑的解題法。

例4：甲、乙兩人同時(shí)從相距60千米的A、B兩地相向運(yùn)動(dòng)，甲速5千米/小時(shí)，乙速7千米/小時(shí)，與此同時(shí)，甲帶一條狗，狗跑的速度是10千米/小時(shí)，當(dāng)他們同時(shí)出發(fā)后，狗跑迎乙，與乙相遇后立刻折返跑迎甲，與甲相遇后再折返跑迎乙，就這樣直至與二人同時(shí)相遇，試問(wèn)狗一共跑了多少路程？

從命題可知，如果想求出狗每次與人相遇所跑的路程，再把這些迂回往返的路程相加，會(huì)顯得很繁瑣，或者不可能。若站在整體的高度來(lái)思考，就會(huì)發(fā)現(xiàn)狗跑的全部時(shí)間正巧是甲、乙二人從開(kāi)始到相遇的時(shí)間 =5（小時(shí)），因此狗跑的全部路程為5×10=50（千米）。

雖然我選取的只是幾道較為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題，但是從以上幾個(gè)例題的解答可以看出，若是抓住了問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，從整體的角度去考慮問(wèn)題，尋求事物的整體變化規(guī)律，并進(jìn)行觀察思考，可使問(wèn)題思路變得清晰，能收到事半功倍的奇效。