構造輔助函數巧解導數問題

根據已知的條件和結論構造輔助函數，并通過研究新構造函數的相關性質來解題是高中數學中一種常用的方法，近年來也一直是高考考查的一大熱點。現從以下幾個方面進行分析，希望對大家的研究和學習有所幫助。

一、依據條件的結構特點構造輔助函數

題1：【2015福建理10】若定義在 上的函數 滿足 ，其導函數 滿足 ，則下列結論中一定錯誤的是（ ）

A. B. C. D.

試題解析：觀察已知條件和選項的結構特點，我們可以構造函數 ，則 ，故函數 在 上單調遞增，且 ，故 ，所以 ， ，所以結論中一定錯誤的是C，選項D無法判斷；另外，我們還可以構造函數 ，則 ，所以函數 在 上單調遞增，且 ，所以 ，即 ， ，選項A，B無法判斷，故選C.

總結提升：聯系已知條件和結論，構造輔助函數是高中數學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數，并確定變量的限制條件，通過研究函數的單調性、最值等問題，常可使問題變得明了，屬于難題。

二、證明部分不等式時，可通過直接做差來構造輔助函數求解

題2：已知定義在正實數集上的函數f（x）=12x2+2ax，g（x）=3a2ln x+b，其中a>0.設兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同.①用a表示b，并求b的最大值；（2）求證：f（x）≥g（x）（x>0）.試題解析：（1）即有b=52a2-3a2ln a且b的最大值為32 .（過程略）；②證明 設F（x）=f（x）-g（x）=12x2+2ax-3a2ln x-b（x>0），③則F′（x）=x+2a-3a2x=x-ax+3ax（x>0）.

故F（x）在（0，a）上為減函數，在（a，+∞）上為增函數.于是F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=F（x0）=f（x0）-g（x0）=0.故當x>0時，有f（x）-g（x）≥0，即當x>0時，f（x）≥g（x）.

總結提升：利用導數證明不等式的步驟：（1）構造新函數，并求其單調區間；如：本題構造函數F（x）=f（x）-g（x），進而轉化為求F（x）的最值問題.（2）判斷區間端點函數值與0的關系；（3）判斷定義域內函數值與0的大小關系，證不等式。

三、當問題無法直接求解時，可通過對所求證的結論做適當變形，建立題目條件與結論之間的聯系

題3：已知f（x）=xln x.①求函數f（x）在[t，t+2]（t>0）上的最小值；（2）證明：對一切x∈（0，+∞），都有ln x>1ex-2ex成立。試題解析：（1）f（x）min= （過程略）。②證明：問題等價于證明xlnx>xex-2e（x∈（0，+∞））.③由（1）可知f（x）=xln x（x∈（0，+∞））的最小值是-1e，當且僅當x=1e時取到，設m（x）=xex-2e（x∈（0，+∞）），則m′（x）=1-xex，易知m（x）max=m（1）=-1e，當且僅當x=1時取到。從而對一切x∈（0，+∞），都有ln x>1ex-2ex成立。

總結提升：本題第（2）問證明不等式時，看似與條件中f（x）=xln x關系不大，但直接求解時無法進行，此時我們必須思考條件與所求解問題有無聯系，如何建立起條件與問題之間的聯系，此時如果嘗試將所證不等式兩邊同乘以正數x便可得到本題解法。

四、巧化“雙變量”問題為單變量函數問題求解

題4：已知函數 .①求函數 的圖象在點 處的切線方程；②設斜率為 的直線與函數 的圖象交于兩點 ，證明： 。試題解析：① ，∴ ， ，∴切線方程為 ；② 要證原不等式成立只需證 ，∵ 即證 ，令 ，只需證 ， ，∴ ，∴ 在 上單調遞減， 成立；令 ，∴ 在 上單調遞增， 成立；綜上所述： 。

總結提升：在求解含有 雙變量問題時，需要根據題目條件消掉一個變量，進而轉化成一個單變量問題來求解。如“題4”中把 的證明，轉化為直線的斜率，構造新函數，利用導數研究新函數的極值與最值是解答的關鍵，著重考查了轉化與化歸思想及推理與運算能力；“題5”中將原不等式分離可得 ，利用 構造函數 ，求出最小值，可得 的取值范圍。需要注意的是必須關注 之間的大小關系，或等量關系，如題4中 ，題5中 。