平面向量在高中數學中的地位

高中數學把既有大小又有方向的量稱為向量。向量的概念，向量的表示，向量的運算、性質、定理，應用構成了向量的知識體系。由于向量具有形又具有數的特征，有些幾何問題通過轉化可以用向量的方式加以解決，它是數形結合的數學思維方法的體現。

向量解決幾何的方法

運用向量來推理論證兩條直線垂直 比如，證明兩條直線垂直，只需寫出這兩條直線的方向向量。直線垂直，則它們對應的方向向量垂直，兩方向向量的數量積為零;反之，若直線的方向向量的數量積為零，則它們對應的直線垂直。

運用向量來推理論證余弦定理 比如，在三角形中，余弦定理的推理論證，利用三角形邊長的平方等于這條邊對應向量模的平方，而向量模的平方又等于對應向量的平方，這個向量又可寫成另外兩邊對應向量的差的形式，再把向量差的平方展開，即得余弦定理。

運用向量來推理論證兩角差的余弦公式 比如，三角函數中，兩角差的余弦公式的推理論證：建立平面直角坐標系并做出單位圓，圓心在原點，在單位圓上，任取不同的兩個點A和B，設點A的坐標為（cosβ，sinβ），點B的坐標為（cosα，sinα）則向量OA的坐標為（cosβ，sinβ），向量OB的坐標為（cosα，sinα），則向量OA與向量OB的數量積幾何表示為兩個向量的模與它們夾角的余弦的積，而向量OA與向量OB的數量積的代數表示為cosαcosβ+sinαsinβ，因為向量OA和OB均為單位向量，所以他們的模均為1。所以，這兩個向量的數量積的幾何表示為cos（α-β），顯然有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。由這個公式又可以推理論證兩角和與差的基本三角函數的公式。

用向量的方法求三角形面積方面 比如，若知道一個三角形的三個頂點的坐標，要求這個三角形的面積，只需從一點出發，寫出兩條邊對應的向量的坐標，這兩個向量的橫坐標與縱坐標交叉相乘得到的積的差的絕對值的一半即是這個三角形的面積。例如，已知三角形的三個頂點坐標分別為A（-5，0）、B（3，-3）、C（0，2），求這個三角形ABC的面積。解決這個問題，先計算出向量AB的坐標為（8，-3）向量AC的坐標為（5，2），則向量AB與AC坐標交叉相乘的差為8×2-（-3）×5=31，這個數的絕對值的一半即為這個三角形的面積。此題也可以別的方法求解，如：先用兩點之間的距離公式，求出三角形其中一邊的長度;再用點的這條邊所在直線的距離，求出這條邊上的高;再用三角形面積公式底邊乘以底邊上高的一半。這樣顯然很復雜，而用向量的方法就會非常簡單。

運用平面向量證明正弦定理 如圖1所示，以A為原點以射線AB的方向為X軸的正方向建立平面直角坐標系。C點在Y軸上的射影為C'，因為向量AC與向量BC在Y軸上的射影均為向量OC'的模，（用OC'表示）。向量0C'的長度等于向量AC長度與角A減去90°差的余弦的乘積，由誘導公式OC'=bcos（A-90℃）=bsinA。過C點做CD垂直X軸交于D，則在直角三角形CDB中，OC'=CD=BCsinB=asinB，所以得bsinA=asinB，即=，同理我們可推導出，=，即==.

用向量的方法推理論證平面上兩點的距離 如圖2所示，設A（x1，y1），B（x2，y2），則向量AB的坐標為（x2-x1，y2-y1）因為兩個相同向量的數量積幾何表示為AB長度的平方，而這兩個相同向量的數量積的坐標表示為（x2-x1）2+（y2-y1）2，所以AB的長度等于（x2-x1）2+（y2-y1）2的和的算術平方根。

運用向量求點到直線的距離 求點到直線間的距離，若M（Xo，Yo）是平面上一定點，它到直線L：AX+BY+C=0的距離為d，把點M的坐標分別帶入L中得AXo+BYo+c的絕對值再除以（A2+B2）的算數平方根，此公式的證明是利用直線的法向量與直線上任取一點P，連PM得向量PM通過求直線的法向量與向量PM的數量積，就可以推理論證上述點到直線上距離d的公式。

學習向量的重要意義

在教學向量這章知識時，就要研究透向量的性質、運算、定理，用它去解決上述幾何、函數等方面的問題，使學生認識到學習向量的重要意義，才能激發學生學習向量的濃厚興趣。在高考中，至少有一道5分的選擇題，然后在應用題甚至壓軸題，通常是向量和其他的知識點綜合來出題。綜上所述，向量獨具知識體系，也是一種重要的數學工具，內容涉及幾何、函數等方面，高考也是必考內容，加上與別的知識點結合出題，分值也相對較高，地位獨特。數形結合的思想方法，直觀明了，所以應引起學生的重視。

（作者單位：江西省新余市渝水一中）