關(guān)于導(dǎo)數(shù)的幾點思考及其應(yīng)用

摘 要：本篇文章首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的極限定義，延伸思考并探討了導(dǎo)數(shù)定義背后的實質(zhì)含義，并因此探討了導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)及其他學(xué)科方面的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)

中圖分類號：G633.62 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-3315（2016）02-024-001

1.引言

1629年左右，法國數(shù)學(xué)家費馬研究了曲線切線，以及求函數(shù)極值的方法，他構(gòu)造了差分f（A+E）-f（A），其中的因子E就是我們現(xiàn)在常說的導(dǎo)數(shù)。17世紀，生產(chǎn)力的發(fā)展推動了自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家牛頓，萊布尼茲等開始系統(tǒng)的研究微積分。牛頓把變量稱為“流量”，把變量的變化率稱為“流數(shù)”，相當(dāng)于我們所說的導(dǎo)數(shù)。19世紀60年代，德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯創(chuàng)造了“？著-？啄”語言，對微積分中出現(xiàn)的各種類型的極限重新加以表達，導(dǎo)數(shù)的定義也就有了今天常見的形式。

2.導(dǎo)數(shù)的定義及思考

導(dǎo)數(shù)（Derivative）是微積分中的重要概念。它描述的是函數(shù)的局部性質(zhì)，描述了這個函數(shù)在這一點附近的變化率。導(dǎo)數(shù)有著廣泛的應(yīng)用范圍。求一個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的過程也成為求導(dǎo)，與積分是一個互逆的過程，是微積分中最為基礎(chǔ)的兩個概念。其中導(dǎo)數(shù)的定義如下：

定義[1]：設(shè)函數(shù)y=f（x）于上有定義，x∈（a，b）固定，則定義導(dǎo)數(shù)f'（x）為差商△y/△x的極限

如果f'（x）存在且為有限，則稱f在點x可導(dǎo)。

導(dǎo)數(shù)f'（x）又常記為y'，或者dy/dx，或df（x）/dx。

從上述定義看出，導(dǎo)數(shù)是一個極限。是當(dāng)自變量收斂到零時，因變量的改變量與自變量的改變量比值的極限。即所謂的變化率。

我們知道，一個函數(shù)可導(dǎo)，則函數(shù)必連續(xù)。證明如下：

即函數(shù)是連續(xù)的。上述結(jié)論反之則不成立，即一個函數(shù)如果是連續(xù)的，則不一定可導(dǎo)。例如：函數(shù)y=x，在整個實數(shù)軸上都是連續(xù)的，但是在x=0這一點卻不可導(dǎo)。

進一步研究導(dǎo)數(shù)的定義，我們發(fā)現(xiàn)：導(dǎo)數(shù)定義中的分式的分子與分母必須嚴格統(tǒng)一。即分母是函數(shù)自變量的改變量，分子則必須是對應(yīng)兩個自變量的因變量的改變量。例如：

當(dāng)函數(shù)y=f（x）具有連續(xù)性時，我們有：

以及

但是

而

更一般的，我們有如下結(jié)論：

即在利用導(dǎo)數(shù)定義求極限的時候，必須把分子分母的自變量相對應(yīng)統(tǒng)一起來進行計算。

3.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是由速度變化問題及曲線的切線問題而抽象出來的數(shù)學(xué)概念。與物理，幾何，代數(shù)等關(guān)系密切。可以用來求切線方程，求速度，加速的等一切變化量的瞬時變化率問題。

應(yīng)用一，求曲線在某一點的切線方程。

假設(shè)曲線方程為y=f（x），求函數(shù)在點（x0，f（x0））的切線方程。如果函數(shù)可導(dǎo)，則函數(shù)在點（x0，f（x0））的切線斜率為f'（x0），于是根據(jù)點斜式方程，可以得出函數(shù)y=f（x）在點（x0，f（x0））的切線方程為：y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）。

如上圖所示，點P0=（x0，f（x0）），P=（x0+△x，f（x0+△x））。當(dāng)點P沿曲線

y=f（x）運動到P0=（x0，f（x0））時，割線PP0與曲線過點P0的切線重合。故切線斜率為 ，因此切線方程為y-f（x0）=

f'（x0）（x-x0）。

4.結(jié)論

本文我們深入研究了導(dǎo)數(shù)的定義，在充分了解導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)含義以后，我們給出了幾個導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的經(jīng)典例子。最后我們指出，在自然科學(xué)或者社會科學(xué)等各個學(xué)科中，凡是涉及到變化率的問題都可以利用導(dǎo)數(shù)或者高階導(dǎo)的性質(zhì)加以分析研究。

參考文獻：

[1]歐陽光中，姚允龍，周淵編著.數(shù)學(xué)分析（上冊），復(fù)旦大學(xué)出版社

[2]陳傳璋，金福臨，朱學(xué)炎，歐陽光中編著.數(shù)學(xué)分析（上冊），高等教育出版社