《數列》中的變式教學

摘 要：布魯納說：“最好的學習動機是學生對所學材料有內在興趣。”“變式教學”是用變式思想對教材進行再創造，從不同角度、不同層次變換學習的展現方式，創設學生積極參與的教學情境，其核心是利用構造系列變式過程來明確解決問題的思維過程，創設暴露思維障礙的情境。

關鍵詞：高中數學； 變式教學

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2016）02-051-001

具體的來說，變式教學指從一道題目出發，通過改變題目的條件、結論或改變題目設計的數學背景，重新進行討論的一種教學方法。這樣有利于實現學生思維由經驗型向理論型的飛躍，達到真正領會知識的目的，從而形成良好的數學思維。由于這種教學方法具有很強的考查功能，對學生的能力要求高，因此這種方法是高三復習中常用的教學方法之一。從近年各地高考命題的趨勢來看，對于學生思維的廣度、深度的要求有所增加，試題比較注重學生探究能力的考查。因此，在平時教學中我們可以從一些最簡單的命題入手，設計一些有層次、有梯度、要求明確、題型多變的例題、習題，訓練學生不斷探索解題的捷徑，使思維的廣闊性得到發展；對于一些容易混淆的數學的概念、法則，可以將它們進行“變式數學”，促使學生做出客觀的評價，提高辨別是非的能力，提高思維的批判性。

在數列一章的復習中，我曾多次采用變式教學的方法引導學生進行復習，效果良好。以下先談談我在復習過程中的一些具體做法：

一、在復習“根據遞推關系求數列的通項”一節時，設計了如下兩組變式題目：

第一組為：

1.已知數列an中，a1=1，an+1-an=2（n∈N*），求數列an的通項公式。

2.已知數列中an，a1=1，an+1-an=2n+3（n∈N*），求數列an的通項公式。

3.將2n+3改為2n，，n2等呢？改為111……1122……2呢？

這一組訓練中，數列的遞推公式均為a1=aan+1-an=f（n）（n∈N+），其中f（n）可求和，均可使用疊加法求其通項。題目難度由淺入深，通過f（n）的不同變化，可使學生深刻理解到疊加法的本質特征。

在第一組的基礎上，再將an+1與an的系數作變化，設計了第二組變式訓練題：

1.已知數列an中a1=1，an+1=an+2（n∈N*），求數列an的通項公式。

2.已知數列an中a1=1，an+1=4an+3n-2（n∈N*），求數列an的通項公式。

3.已知數列an中a1=1，an+1=3an+2n（n∈N*），求數列an的通項公式。

4.已知數列an中a1=1，a2=，an+2=an+1-an（n∈N*），求數列an的通項公式。

這組題目均可使用化歸法求解，其中第四題的變化已經從一階遞推公式變化到了二階遞推公式求通項的問題，這里，不僅能使學生看到事物的表象，更能讓他們自覺地探索事物的本質，使他們明白復雜問題都是從簡單轉變而來的，消除了學生們的定勢思維和學習數學的畏難情緒，同時也提高了學生的數學研究和創新能力，使學生真正成為課堂教學的主體。

二、在復習“前n項和Sn與通項an的關系”時，設計了如下一組變式題目：

1.已知數列an的前n項和Sn=n2-2n+2（n∈N*），求數列an的通項公式

2.已知數列an的前n項和Sn=2n-1（n∈N*），求數列an的通項公式

3.已知數列an的前n項和Sn=4an+2（n∈N*），求數列an的通項公式

4.已知數列an的前n項和Sn=4an+2n+3（n∈N*），求數列an的通項公式

5.已知數列an的前n項和Sn+1=4an+2，a1=1（n∈N*），求數列an的通項公式

這些題目是對例習題進行了變通推廣，重新認識，題目的變化有一定梯度，循序漸進，不僅有助于學生對本節課內容的掌握，而且通過恰當合理的變式，能營造一種生動活潑、寬松自由的氛圍，開闊學生的視野，激發學生的情趣，有助于培養學生的探索精神和創新意識，并能使學生舉一反三，事半功倍。當然，變化必須要限制在學生思維水平的“最近發展區”上，變式題目的解決要在學生已有的認知基礎之上，否則會使學生產生畏難情緒，影響問題的解決，降低學習的效率。

這些例子雖然簡單，但實施起來也要有一定的條件。其中最主要的是我們要具有先進的教育理念。一方面我們要營造“民主”的環境，以學生為中心，另一方面我們要將以傳統接受性、維持性學習為主的教學模式發展為創新性學習為主的學習模式。如何兼顧這些，我以為數學教學中的變式教學完全可以弘揚學生的主體地位，我們可以通過對數學問題多角度、多方位、多層次的討論和思考，改變以往“老師講解多、學生思考少，一問一答多、交流少，記憶多、操作少……”的現象；運用“變式教學”的觀點，我們可以對教學中定理、命題進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，采用“一題多用”、“多題重組”的方法進行教學設計。這樣的教學集知識性與趣味性于一體，可以讓我們的學生在無窮的變化中領略數學的魅力，在曼妙的演變中體會數學的快樂，從而實現學生的自主創新學習。

以上只是列舉了教學過程中簡單的變式教學實例，岳飛說：“陣而后戰，兵法之常，運用之妙，存乎一心。” 數學教學也是這樣，能在教學中針對瞬息萬變的教學情況做出相應的處理，而不拘泥于固定的事先設計好的程式，這才是我們每位教師追求的最高層次。