數列不等式的“縮放”技巧探究

一、前言

近年來，數列不等式證明成為高考的熱點，多以壓軸題的形式出現。數列不等式證明強化了對知識點的歸納綜合，也突出對學生綜合運用能力的考查，以及發散性思維的培養。在高中數列不等式證明中，“縮放”證明技巧最為常用，也是最有效的證明途徑之一。在抓住數列性質的同時，通過合理的縮放處理，進而實現對目標不等式的證明。本文立足于對數列不等式的研究，就數列不等式證明如何縮放提出了如下幾點建議。

二、基于縮放下構造“裂項”求和

在數列不等式的證明過程中，數列之和常常難以直接求得。為此，通過縮放構造“裂項”求和，就是實現目標不等式證明的重要途徑。通過將數列通項公式分裂成“兩項之差”的表達式，再在求和之后，進行縮放處理。但是，很多情況之下，通項公式不能分裂，這就需要針對目標不等式，對通項式先進行適當縮放，進而裂項、求和之后，再放縮。

例1-1：已知數列an的前n項的和sn=an-×2n+1+，n∈N.

（1）求數列an的通項式an；（2）設Tn=，n∈N，證明

Ti<.

解：（1）過程省略：an=4n-2n，n∈N，

（2）

為此，

所以，

在第二問的數列不等式證明中，通過對Tn通項公式的計算，并對通項式進行裂項處理，形成含有的典型裂項差，這對于不等式的縮放證明，構建了良好的基礎。很快，在裂項求和的過程，中間項全部抵消，剩下。為此，，不等式得證。在數列不等式證明的過程中，對通項式進行裂項求和、消項的做法最為常用，特別是構建諸如的典型裂項差，是縮放處理的基礎，也是實現數列不等式證明的重要途徑。

二、基于縮放下構造“等比”求和

等比數列是高中數列中的重要知識點，也是數列不等式縮放證明的重點應用領域。在一般情況之下，可以通過等比數列求和之后，進行縮放。當然，很多情況下，縮放處理在數列求和之前，也就是先對通項進行縮放，從某一項開始縮放之后，和式轉化為等比數列求和，進而求和之后縮放。因此，抓住數列性質，構造等比數列縮放，是有效證明的重要途徑。

例2-1：已知數列an，滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）.

（1）求數列an的通項式：

（2）證明：-<++…+<（n∈N）.

解：（1）過程省略：an=2n-1（n∈N）

因此，

在第二問的解題過程中，右邊證明相對比較簡單，通過對通項公式進行適當的縮放，就很快得出，k=1，2，3，…n，進而得出。在對左邊的證明中，先對通項公式進行縮放，構造等比數列之后，再進行縮放。在整個的縮放過程中，技巧性強、靈活性大，強調對目標不等式的整體把握。在不等式中，有（n∈N）”，因而，在進行縮放的過程中的構造非常重要，技巧性的將變式為，并對其進行縮放，

很快便可以得出這一結論：“≥-×，k=1，2，3，…n”，進而獲得等比數列求和，縮放處理，實現目標不等式的證明。

在該例子中，縮放的技巧性強，靈活性大。一方面，強調在解題的過程中，能夠依據對目標不等式的整體把握，進行適當的縮放處理。在很多情況下，可能縮放一次不成功，那么多次縮放嘗試是有必要的；另一方面，等比數列是重要的數列知識點，也是高中階段縮放處理的重要方向。通過對通項公式的適當縮放，在構造等比數列求和之后，再進行縮放。

總而言之，在高中階段，數列不等式的證明，作為綜合型題目，考查面廣、難度大，這也是學生望而怯步的重要原因。在高考中，數列不等式成熱點，多以壓軸題的方式出現，這就足以見得其重要性。在高中數列不等式的證明中，“縮放”技巧最為常用，也是最有效的途徑之一。通過抓住數列的性質，如等比數列、等差數列，強化與縮放策略的有效融合，進而實現數列不等式的證明。與此同時，借助函數性質縮放證明，也是常用的證明技巧，這就需要學生在日常的學習中，要對重要函數性質有所了解并識記，這對于一些數列不等式的證明，起到轉折式的巧妙之處。

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