一元一次不等式（組）的解法小技巧

在整個初中數學知識體系中，不等式雖然只有一章節的內容，但它的重要性卻不可忽視。從方程（等式）到不等式的重大轉變，許多學生感到有些措手不及。從等到不等的轉變，不僅僅是形式的轉變，更是思維方式的轉變，方法的轉變。不等關系在小學數學中就有所體現，如比較兩個數的大小，初中數學又介紹了不等式的具體概念，性質，以及簡單的一元一次不等式（組）的解法利用，用不等式解應用題、最優策略、最大值、最小值、實際應用問題等方面都有著廣泛的應用，所以不等式在整個數學學習的過程中具有至關重要的作用。

一元一次不等式組的教學重點是它的解法，這也是教學的關鍵，在教學時必須使學生理解一元一次不等式組的解集的意義，特別強調解一元一次不等式組的方法是：先求出每一個不等式的解集，然后再找出這些解集的公共部分，“公共部分”就是所求的不等式組的解集，通過多次的觀察和調查，這一環節對學生來說是很容易接受的，而困難的是怎樣求出兩個或多個解集的公共部分，數軸就是很直觀的找出解集的公共部分的工具，從數軸可得，如果沒有公共部分，那就不存在解集，所以，教學過程中讓學生準確的運用數軸找出解集是重中之重。而不等式與數軸綜合運用又是初中數學的數形結合的典范。

在求不等式組的解集時，不等式組的形式可以歸結為以下4種：

借助數軸可得第Ⅰ，Ⅱ種無論a、b如何取值，不等式組都一定有解；而第Ⅲ、Ⅳ種的解集情況是由a、b的取值來確定，又可用關于a、b的一個不等式來確定解集的情況：當ab時，Ⅲ型一定無解，而Ⅳ型一定有解為b

對這樣一類不等式組如af（x）>b（f（x）是指含未知數的代數式），一般的解法是把它化成上面的形式再進行求解集。而針對這類題型，我經過多年的教學總結，并不斷實踐，總結出一種特殊的解法，下面用例子來說明。

例1：求不等式組2<2x<6的解集。

解：2<2x<6

1

那如果系數為負數時，運算一樣，只不過不等號的方向要同時改變，舉例如下：

-4<-2x<2，同時除以-2時，不等號的方向同時改變得：

2>x>-1，這樣不等式的解集同樣就求出來了，比用原來的方法要簡便一些。

例2：求不等式組-4<2（x-1）<-2的解集。

解：-4<2x-2<-2（先去括號）

-4+2<2x<-2+2（把中間的常數項同時向左右兩邊移項，同時也要變號）

-2<2x<0（同樣在左中右都可以進行合并同類項）

-1

注意：在進行中間常數移項時，也可以推廣到含有分母時去分母，在不等式組的左中右同時乘以分母的最小公倍數，再去括號，運算與上面完全一樣，這里要給學生講清楚，移項和化系數時的特殊性，跟一般的不等式組的運算步驟的區別。用這個方法可以減少運算量，簡化步驟，不失為一個良策。

-10≤2（1-3x） ≤35（去分母，應特別注意左中右同時乘以分母最小公倍數）

-10≤2-6x≤35（去括號）

-10—2≤-6x≤35—2（移項，把中間項的常數項同時向左右兩邊同時移項并變號）

-12≤-6x≤33（合并同類項，左中右三項中，只要有同類項都可以進行合并）

2≥x≥-5.5（化系數為1時，應特別注意，當未知數的系數是負數時，左中右三項同時除以未知數的系數時，一定注意不等號的方向一定要改變，這一點和一般不等式的解集的求法一樣）

又因為x取整數解（這些特殊解只能在解集中去尋找，所以第一步不等式的解集必須正確）

所以：x=-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2.

用這種方法是不是比以往的方法要簡便一些？但必須掌握這種方法的幾個要點，切記！

下面是用這種方法來解應用題：

例4：（2008.湖北襄樊）“六一”兒童節前夕，某消防官兵了解到汶川地震災區一帳篷小學的小朋友喜歡奧運福娃，就特意購買了一些送給這個小學的小朋友作為節日禮物，如果每班分10套，那么余5套；如果前面的班級每個班分13套，那么最后一個班雖然分有福娃，但不足4套，求該小學有多少個班級？奧運福娃共有多少套？

（分析略）

解：設該小學共有x個班級，則福娃共有（10x+5）套，根據題意得：

因為x只能取正整數，所以x=5

所以福娃的數量是10×5+5=55套

答：該小學班級共有5個班級，福娃共有55套。

例5：（2008.貴州貴陽）某超市銷售有甲、乙兩種商品，甲商品的每件進價是10元，售價15元；乙商品每件進價30元，售價40元

（1）若該超市同時一次購進甲乙兩種商品80件，恰好用去1800元，求購進甲乙兩種商品各多少件？

（2）該超市為使甲乙兩種商品共80件的總利潤不少于600元，但又不超過810元，請你幫該超市設計相應的進貨方案。

分析：在（1）中較簡單可以列一個二元一次方程組便解得甲有40件，乙有40件，而本題的要點在（2）中。

解：（1）略

（2） 設甲需購進x件，則乙有（80-x）件，根據題意得：

又因為x取正整數，所以x=38，39，40

所以共有3種方案即：

方案一：甲38件，乙42件

方案二：甲39件，乙41件

方案三：甲40件，乙40件

答：略

通過上面幾個例題的應用，這個小技巧還是值得向大家推薦，但是必須掌握其中的幾個要點，因為它與我們平時的不等式的解法有很大的區別，當然，這個方法也并不是萬能的，只是針對特定的題型有一些技巧罷了。