中職數(shù)學(xué)中已知三角函數(shù)值求角問題的淺談

[關(guān) 鍵 詞] 中職數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；求角問題

[中圖分類號] G712 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號] 2096-0603（2016）23-0154-01

在給定區(qū)間內(nèi)已知三角函數(shù)值求角的問題一直以來都是中職教學(xué)中的一個難點，為了應(yīng)對這一考查，教師一般會利用三角函數(shù)的圖象，使用數(shù)形結(jié)合思維解決此問題，此類做法一直以來可以說收效甚微。中職生現(xiàn)階段存在的問題主要有三點：（1）學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱；（2）邏輯思維能力弱；（3）不會使用數(shù)形結(jié)合思想。這就是為何高中版數(shù)形結(jié)合法處理給定區(qū)間內(nèi)已知三角函數(shù)值求角問題不適合中職生的原因。針對上述問題，筆者如下設(shè)計本課。

一、問題導(dǎo)入，激發(fā)興趣

已知余弦值求角

問題：若cosA=，則A=60°是什么命題（意圖：使學(xué)生發(fā)現(xiàn)已知三角函數(shù)值求角問題的結(jié)論并不惟一，經(jīng)過學(xué)生討論以后得出結(jié)果）

回答：假命題，原因：由終邊相同的角的三角函數(shù)值都相同可以得出A=60°+k360°（k∈Z）

二、問題分析，獲取新知

提問：除此之外，還有其他的角余弦值等于二分之一嗎？（意圖：激發(fā)學(xué)生興趣，引起注意，沒有學(xué)生思考出答案）

提問：之前學(xué)習(xí)過的誘導(dǎo)公式里面有這樣一組“cos（-α）=cosα”，能不能依據(jù)此公式找找看呢？

很多學(xué)生有了想法舉手。

回答：由此誘導(dǎo)公式可以得出cos60°=cos（-60°）=，A=-60°

提問：還有沒有同學(xué)需要補(bǔ)充呢？

回答：應(yīng)該是A=-60°+k360°（k∈Z）

提問這是兩類完全不同的角嗎？

學(xué)生開始試驗，發(fā)現(xiàn)沒有重復(fù)，并得出結(jié)論。

總結(jié)：由此可以得出已知余弦函數(shù)值求角可以得到兩類角，而且這兩類角之間有對應(yīng)互補(bǔ)的關(guān)系。

（一）已知正弦值求角

提問：已知sinA=，則A=30°是真命題嗎？

在余弦值求角問題之后，學(xué)生對此類問題有了初步的掌握。

回答：不是，是假命題，應(yīng)為A=30°+k360°

提問：那么他有沒有像正弦值求角那樣有第二類角呢？（有個別基礎(chǔ)好的同學(xué)舉手）

回答：有，A=150°+k360°

提問：你是怎么找到這個角的？

回答（同一個學(xué)生回答）：我據(jù)前面所學(xué)，也找到了一個不變號的誘導(dǎo)公式“sinα=sin（π-α）”所以既然sin30°=，那么sin150°=sin30°=。所以可以找到第二類角即為與150°終邊相同的角。

提問：由此我們可以得出：若sinA=，則A有兩類，第一類，A=30°+k360°，第二類，A=150°+k360°，那么他們這兩類角有沒有重復(fù)呢？

經(jīng)過試驗后發(fā)現(xiàn)沒有重復(fù)角，同時還發(fā)現(xiàn)對應(yīng)的一類和二類角之間存在和為180°的現(xiàn)象。

總結(jié)：已知正弦值求角也有兩類，他們之間存在對應(yīng)和為180°的情況。

（二）已知正切值求角

提問：已知tanA=1，則A=45°是什么命題？

這次基本上所有學(xué)生都已經(jīng)明白已知三角函數(shù)值求角的角并不唯一。

回答：假命題，A=45°+k360°。

提問：有沒有第二類角。

學(xué)生開始尋找不變號的正切誘導(dǎo)公式，經(jīng)過一段時間的討論后，有三分之一的學(xué)生有了結(jié)果。

回答：由tanα=tan（α+π）可以得出A=135°+k360°。

提問：這兩類角有沒有重復(fù)？

學(xué)生開始試驗并得出結(jié)論。

回答：沒有重復(fù)，同時還發(fā)現(xiàn)這兩類角，角與角之間相隔了180°。

提問，那么我們能不能將這兩類角寫為一類？

回答：可以，A=45°+k180°。

總結(jié)：已知正切值求角只有一類角，且角與角之間間隔了180°。

三、例題精講，鞏固新知

例一：已知sinA=-，則A為多少？并篩選出其中0°～360°之間的角。

分析：遇到負(fù)值時應(yīng)當(dāng)先想辦法去負(fù)號，化為正常后再求解。

解：sinA=-，則-sinA=由-sinA=sin（-A），

得sin（-A）=，則-A=60°，A=-60°（*）

A=-60°+k360°或A=240°+k360°。

其中0°～360°之間的角有240°和300°。

提問：這道題做的有沒有問題？

回答：既然已知三角函數(shù)值求角，角度不唯一，那么由sin（-A）=如何得到-A=60°呢？經(jīng)過商討，大家一致認(rèn)為這個步驟應(yīng)該去掉。所以最終，“*”步驟要刪去，那是個錯誤步驟，而寫上這個步驟的主要目的則是幫助學(xué)生進(jìn)行思維的延續(xù)，所以最好先寫上，再去除，先做錯，后做對。

四、討論練習(xí)

練習(xí)題1：已知sinA=-，求A，并寫出其中0°～360°之間的角。

五、小結(jié)回顧，記憶知識

以上就是筆者對本節(jié)課的設(shè)計思路，整節(jié)課盡量降低學(xué)生的思維跨度，減少技巧性的內(nèi)容，經(jīng)試驗，學(xué)生的掌握效果很好。中職學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)工作是非常不易的，教師需要經(jīng)常總結(jié)，找到好的教學(xué)方法就掌握了中職學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的先機(jī)，可以逐漸提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心，并最終達(dá)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教綱要求。