全面認識反函數

反函數是一個較抽象的概念，而教材只給出一種描述性的定義，增加了我們理解反函數的難度。本文從反函數的有關性質、求法和巧妙應用等幾個環節入手，對反函數進行全面認識。

性質1 函數y=f（x）在某一區間上存在反函數？圳該函數在該區間上是一一映射。

性質2 原函數的圖像與其反函數的圖像關于直線y=x對稱。

性質3 原函數的定義域是其反函數的值域，原函數的值域是其反函數的定義域。

性質4 f [f（x）]=x，x屬于y=f（x）的定義域；f[f （x）]=x，x屬于y=f（x）的值域。

性質5 原函數與其反函數的單調性相同，原函數與其反函數的奇偶性相同。

性質6 函數f（x）為增函數，若y=f（x）的圖像與y=f （x）有交點，則交點必在直線y=x上。

性質7 函數f（x）為減函數，若y=f（x）的圖像與y=f （x）有交點，則交點至多有一個在直線y=x上。

性質8 函數f（x）是單調函數，若y=f（x）與y=f （x）有不在直線y=x上的交點，則函數f（x）是單調減函數。

一、反函數的存在問題

例1 函數f（x）=x-2ax-3在區間[1，2]上存在反函數，則a∈（ ）。

A.（-∞，1] ？搖？搖？搖？搖？搖？搖 B.[2，+∞）

C.（-∞，1]∪[2，+∞）？搖？搖 D.[1，2]

解析 由性質1可知，函數f（x）=x-2ax-3在區間[1，2]為單調函數，所以a？埸（1，2），

故選C。

評注 函數y=f（x）在這一區間上單調與其在該區間上存在反函數不等價。

二、求反函數的問題

例2 函數f（x）=log1+（x>0）的反函數f （x）=（ ）。

A.（x>0）？搖？搖？搖 B.（x≠0）？搖 C.2-1（x∈R）？搖 ？搖 D.2-1（x>0）

解析 求反函數有三步驟。

步驟一：求函數f（x）的值域，由x>0可得1+>1，所以y>0。

步驟二：用y表示x得1+=2？圯x=（y>0）。

步驟三：對調x、y，注明反函數的定義域，

即y=f （x）=（x>0）。故選A。

評注 求反函數的“三部曲”是基礎，是理解反函數的“根”。

三、與反函數的定義域和值域有關的求值問題

例3 函數f（x）=x-1（x≥1）的反函數為y=f （x），則y=f （2）的值為（ ）。

A. B.- C.1+ D.1-

解析 函數f（x）=x-1的定義域是[1，+∞），值域是[0，+∞），

所以y=f （x）的定義域是[0，+∞），值域是[1，+∞），

選項B、D都不對。

令2=x-1，解得x=±，又y=f （x）的定義域是[0，+∞），

所以x=。故選A。

四、與反函數圖像有關的問題

例4 已知函數y=logx的反函數是y=f （x），則y=f （1-x）的圖像是（ ）。

解析 要得到y=f （1-x）的圖像，需把y=f （x）的圖像關于y軸對稱后，再向右平移1個單位，又y=logx與y=f （x）的圖像關于直線y=x對稱，故選C。

五、反函數的巧用

例5 對定義在區間I上的函數g（x），記g（I）={y|y=g（x），x∈I}，已知定義域為[0，3]的函數y=f（x）有反函數y=f （x），且f （[0，1））=[1，2），f （（2，4]）=[0，1），若方程f（x）-x=0有解x，則x= 。

解析 由性質1和性質3可知：

當x∈[0，1）時，f（x）∈（2，4]；x∈[1，2）時，f（x）∈[0，1）。

而y=f（x）的定義域為[0，3]，

故當x∈[2，3]時，f（x）的取值應在（-∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞）中。

故若f（x）=x，只有x=2。

例6 設函數f（x）=（a∈R，e為自然對數的底數），若存在b∈[0，1]使f[f（b）]=b成立，則a的取值范圍是（ ）。

A.[1，e] B.[1，1+e] C.[e，1+e] D.[0，1]

解析 f（x）=為單增函數，由性質4可知f[f（b）]=b？圯f（b）=f （b）。

由性質6可知f（x）與f （x）的交點在直線y=x上，

所以存在x∈[0，1]，使f（x）=x有解，

即存在x∈[0，1]，使x=成立。

化簡為x-x+a=e，

令F（x）=x-x+a，G（x）=e，x∈[0，1]

若上式成立，則y=F（x）與y=G（x）的圖像有交點。如右圖，a即為y=F（x）與y軸交點的縱坐標，隨著a的變化，y=F（x）的圖像上下移動。數形結合可得a∈[1，e]，故選A。

在對應過程中，反函數中的變量關系與原函數發生了反向變化。反函數提供了觀察變量關系的一個新視角。對反函數知識的學習能激活發散思維，培養創新意識。