一維勢壘貫穿時透射系數的計算與MATLAB分析

摘 要：該文先對粒子貫穿一維方勢壘及一維一般勢壘的透射系數進行理論推導，然后用Matlab程序對透射系數進行定量計算，不僅定性討論了入射粒子能量與勢壘寬度及高度對透射系數的影響，而且討論了許多教材中透射系數的一種近似算法中勢壘寬度對計算誤差的影響。

關鍵詞：勢壘貫穿 透射系數 Matlab

中圖分類號：O413 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）04（c）-0070-04

Abstract：The paper firstly derives transmission coefficient for one-dimensional square barrier and one-dimensional general potential， and then uses Matlab to accurate transmission coefficients. This paper also discusses the influence of the energy of incident particles， the width and height of potential to the transmission coefficient. Then this paper discusses the influence of the width of potential to calculational error in a kind of approximate algorithm for calculating transmission coefficient in many textbooks.

Key Words：Potential barrier penetration； Transmission coefficient； Matlab

在量子力學中，對于納米量級的薄勢壘層[1]，如果向它射入能量比勢壘高度低的粒子，在勢壘后側能夠發現雖然很小但并不為零的粒子概率密度，這種穿透勢壘的現象稱為量子隧道效應[2-3]。在理論和實踐中計算出粒子貫穿勢壘時的透射系數都具有重要意義。量子力學是描述微觀粒子運動的理論，其計算常復雜繁瑣，但隨著計算機技術的發展，使得許多繁瑣計算都迎t刃而解。以往很多作者對單方勢壘和多方勢壘條件下的透射系數進行了研究，該文對一維一般勢壘的透射系數進行理論推導，然后用Matlab程序對透射系數進行定量計算。

1 一維勢壘貫穿概率模型的構建

1.1 一維方勢壘

3 粒子貫穿一維勢壘程序運行示例及討論

3.1 粒子貫穿方勢壘程序運行示例及討論

利用2.2節中程序源代碼，輸入相關參數和相關勢壘函數便可快速得到電子貫穿一維勢壘時透射系數和反射系數。表1為相關運行示例。

從表1中可以看到，透射系數D和反射系數R之和S為1；從A.1組中知E為0時透射系數為0，反射系數為1，即沒有粒子去貫穿勢壘，認為全部粒子都被反射；從B組1號和C組1～6號看到電子能量從小于勢壘能量到等于勢壘能量，再到大于勢壘能量對一定高度和寬度的勢壘進行貫穿時透射系數逐漸增大，反射系數逐漸減小；從D組1～3號到B組1號可知用一定能量的電子去貫穿一定寬度的勢壘時，隨著勢壘高度越大，透射系數逐漸減小，反射系數逐漸增大；從B組1～4號可知，電子入射能量一定，勢壘高度一定，勢壘寬度漸增，透射系數遞減，反射系數遞增，并且相當敏感。

由于透射系數與反射系數之和為1，當知道其一時便知其二，接下來將用B組數據與大多數教材中的計算隧道效應透射系數的一種近似算法進行比較。

得d1=54.13%，d2=47.14%，d3=28.27%，d4=15.75%。從d的變化可看到隨著a遞增，D1與B組中越接近。B組中數據是沒有經過近似處理的，屬于準確值，上述的近似處理算法在勢壘寬度a越小時誤差越大。

3.2 粒子貫穿一般勢壘程序運行示例及討論

上面討論了電子貫穿方勢壘透射系數，接下來討論電子貫穿一般勢壘程序運行示例。

從表3中E組1號和D組1-3號可得隨著一維線性勢壘高度遞增，透射系數遞減，反射系數遞增，從E.1和F組可看出，相同能量的電子貫穿相同高度勢壘，勢壘越厚實，透射系數越小，反射系數越大。

至此定量計算了電子貫穿一維方勢壘和一維一般勢壘的一些透射系數和反射系數，并定性討論了電子入射能量與勢壘寬度及高度對透射系數與反射系數的影響。文中程序只是對電子貫穿一維勢壘透射系數反射系數的計算。如果要定量的計算別的粒子貫穿一維勢壘的透射系數與反射系數，只須將程序中u換為相應粒子質量，便可快速得到結果。

4 結語

該文對粒子貫穿一維方勢壘及一維一般勢壘的透射系數進行理論推導，再用Matlab程序對電子貫穿一般勢壘時的透射系數進行數值計算。從計算程序來看只需在MATLAB軟件環境下輸入相關參數和勢壘函數，便可快速得到粒子貫穿一維勢壘時的透射系數。該文利用所編程序，定量計算了電子貫穿一維勢壘時透射系數，并定性的討論了電子入射能量與勢壘寬度及高度對透射系數的影響，而且把所得數據與周世勛所著《量子力學教程》中透射系數數據進行比較，討論了眾多教材中一種計算隧道效應透射系數的近似算法中勢壘寬度對透射系數誤差的影響。

參考文獻

[1]（日）難波進，石原直.納米技術手冊[M].科學出版社，2005.

[2]周世勛.量子力學教程[M].高等教育出版社，1979.

[3]蘇汝鏗.量子力學[M].高等教育出版社，2002.