在操作中感悟在應用中提升
——《倍的認識》教學設計

孫惠惠

（本文作者系朱樂平數學名師工作站“一課研究”組成員）

【課前思考】

倍的概念建立分兩個層次，第一層次是操作性意義的建構，以圈出1份和幾份為基本過程溝通份數與倍數的關系，“以一個量為標準，另一個量有這樣相同的幾份就是它的幾倍”。第二層次是數學性意義的建構，溝通幾個幾和倍數的關系，如“3個2就是2的3倍”。學生只有經歷了這兩個層次的概念建立過程，才有助于增進對于份數、幾個幾、倍數之間的聯系與認識，建立起完整的倍的概念。

【教學過程】

一、呈現情境，以兩數關系引出“倍”

師：（出示主題圖）觀察這幅圖，你能提出哪些數學問題？

生:白兔比黑兔多幾只？黑兔比白兔少幾只？兩種兔子一共有多少只……

師：同學們提出的問題都很有價值。其實，兩個數量之間除了比多、比少這樣的相差關系外，還有一種倍的關系。今天我們就來認識這個新朋友——倍（板書課題：倍的認識）。

【設計意圖：“倍”的本質屬性是兩個量比較的結果，在學生已有的經驗中兩個量之間的關系不是求和就是求差，而在這節課里，將認識兩個量的另一種關系，這種關系是全新的，因此呈現新概念與學生已有認知結構之間的聯系和差異則是引入教學的有效契機。】

二、喚醒經驗，基于份數感知倍數的操作意義

1.借助實物，初步感知2倍。

出示2只黑兔，4只白兔，引導學生邊圈邊說出：把2只黑兔看成1份（圈一個圈），白兔有這樣的2份（圈兩個圈），我們就說白兔的只數是黑兔的2倍。

2.抽象實物，直觀認識2倍。

把3個紅蘿卜6棵青菜抽象成3個紅圓和6個綠圓，引導學生邊圈邊說出綠圓和紅圓的倍數關系。

3.變換圖形，豐富2倍表征。

出示兩行圖形，第一行5個五角星，第二行10個長方形，引導學生邊圈邊說出兩者的倍數關系。

4.對比實例，建立2倍模型。

師：這些圖中的形狀、個數都不一樣，但為什么我們都說第二行的個數都是第一行的2倍呢？

引導學生發現，不管第一行擺幾個,只要把它看成一份，第二行擺這樣的兩份,第二行的數量就是第一行的2倍。

【設計意圖：“倍”是一個數概念，對于倍的定義有操作性定義和數學性定義兩種，其中操作性定義能通過對“倍”形成過程的描述，將抽象的概念轉換成可觀察的操作過程；學生從圈實物圖、圈圓點圖到圈其他圖形，利用畫圖表征，層層反復操作和感知，在活動中親身經歷了“倍”的形成過程，自主構造出“2倍”的概念模型。】

三、主體探究，溝通幾個幾建構倍的數學意義

1.動手操作，運用經驗。

讓學生擺一幅有倍數關系的圖，具體的操作要求：

擺一擺

1.擺兩行，能清楚看出其中一行是另一行的幾倍。

2.擺完后同桌說一說：（）的數量是（）的（ ）倍。

2.成果展示，交流方法。

教師逐一出示收集的三幅學生作品（第一幅正向放，第二幅反向放，第三幅打亂放），請學生介紹。

生：我們組把3個小鳥看成1份，第二行有這樣的3份，第二行是第一行的3倍。

生：我們組把2個海豚看成一份，第一行有這樣的3份，第一行就是第二行的3倍。

生：第三幅也是3倍關系，我們可以把圖形重新擺一擺，就能看出是4個太陽是一份，小花有這樣的3份。

生：不用重新擺，圈一圈就行，先把4個太陽圈成1份，小花可以圈這樣的4份，小花的個數就是太陽的4倍。

生：數一數也可以，太陽有4個，小花有12個，12是3的4倍。

師：同學們的方法都很好，接下來請你仔細觀察，這些都是3倍關系的圖，誰能用一句話來說一說，怎么擺就一定是3倍關系。

生：只要先擺一份，再擺同樣多的三份，它們之間就是三倍關系。

【設計意圖：“倍”的概念建立過程中，把誰看成“1份數”是概念形成的重要環節，通過倍數創作素材的多元化和正向、反向、無序排放作品的解讀，讓學生能清晰體會到1倍標準的確立與它所在的行數、位置、所表示的圖形無關，只與和它比較的另一個數量的關系有關。這樣教學，學生能在辨析與思考中牢牢建立起“把哪一類物體的數量幾當做1份數，另一類物體中有多少個同樣多的幾個，就是幾的多少倍”的表象。】

3.分析比較，溝通聯結。

師：剛才我們通過擺一擺、圈一圈已經發現了它們的倍數關系，接下來，我們從數量上來觀察一下。如果一份是2，以2個為標準去數一數，1個2,2個2,3個2。3個2就是2的3倍。（板書3個2）

師：（指板書中的圖）如果一份是3，以3個為標準、以4個為標準去數一數呢？

根據學生回答板書3個3，3的3倍；3個4，4的3倍。

【設計意圖：基于前面大量份數關系與“倍”的溝通后，學生關于倍的概念結構已經初步形成，在本環節中，適當溝通“幾份”與“幾個幾”后，學生就能快速在“幾個幾”和“倍”中建立聯結。】

四、層層跟進，應用“倍”的概念

1.變化標準量，體驗倍數結果的相對性。

師：看圖，你能快速說出圓的數量是三角形的幾倍嗎？

引導學生發現，倍是兩個數量之間的關系，缺少三角形就不能比。

師：想一想，三角形可能是幾個?把你們的猜想畫在練習紙上。

學生完成后，分別得出圓可能是三角形的6倍、3倍、2倍、1倍。

教師引導學生發現，同樣都是6個圓，但和它比較的三角形的數量在發生變化，圓的數量是三角形的幾倍也會發生變化。

2.辨析倍數關系，突出以誰為1倍標準。

（1）出示問題。判斷：這樣做對嗎？

引導學生發現要找準把誰看成一份數，不能說反了。

（2）討論如何修改,如三角形的數量是圓的2倍，圓的數量是三角形的一半。

3.三個量兩兩比較，熟練倍數的表述應用。

師：如果我們在剛才的圖中再增加一行，你能從這幅圖中找出（）的數量是（）的（）倍嗎？

同桌說一說，看哪一桌找到的倍數關系多。

學生分別找出三角形的數量是圓的2倍，三角形的數量是長方形的6倍，圓的數量是長方形的3倍。