高中數學實驗室的發展

◆蔣培杰　曹軒

高中數學實驗室的發展

◆蔣培杰曹軒

定義與高中數學實驗室相關的幾個概念，按照發展規律將高中數學實驗室的發展分為三個階段。在這個基礎上，闡述圖形計算器在概念課、實驗課和統計概率模塊的應用，以及動態數學軟件在教學中的應用，并討論這些應用的優缺點。

高中數學實驗室；圖形計算器；動態數學軟件

10.3969/j.issn.1671-489X.2016.03.152

1　前言

現代教育技術正改變中學數學教學方式，ICMI 12的72個正式報告中多至8個報告有關技術與數學教學，還有第18、19兩個課題研究分別就數學教學如何應用技術進行討論［1］。2014年3月，教育部《中小學“數學實驗室”建設的研究》開題大會在北京召開，大會對高中數學實驗室建設的國家標準等問題做了討論，對研究做了具體規劃。會議討論了建立數學實驗室國家標準的重要意義，提出了數學實驗室建設的目的、數學實驗室的功能、數學實驗的作用以及如何建立數學實驗室的國家標準等問題。

目前，全國各地已經建成一些有特色的高中數學實驗室，并投入使用。然而調研發現，目前多數一線數學教師并不知道什么是高中數學實驗室，不了解實驗室的功能和意義。因此，介紹高中數學實驗室對一線數學教師而言已經十分必要和迫切。

2　高中數學實驗室相關的核心概念

本研究中與高中數學實驗室相關的核心概念有三個：數學實驗室、圖形計算器和數學實驗室教學。

數學實驗室目前，對于數學實驗室并沒有統一的標準。一般認為，數學實驗室應該包括桌椅、交互式白板、投影、計算機、手持學習終端（平板電腦或圖形計算器）、物理傳感器、傳統教具、立體幾何模型、器材存儲柜等硬件設備，幾何畫板、超級畫板、數學插圖、算法框圖輔助教學系統、統計分析軟件SPSS、Maple等軟件。本文中，數學實驗室指至少包含桌椅、交互式電子白板、計算機、圖形計算器硬件設備和幾何畫板軟件設備的可容納40人以上的多媒體教室。

圖形計算器圖形計算器是一種具有函數作圖功能、動態圖形功能、解方程（組）功能、數據處理功能、簡單的編程功能和進行一些數理模擬實驗等功能的計算器。它可以直觀地繪制各種方程曲線和函數圖象，還可以進行軌跡跟蹤、動態演示，具有一定的交互性，是一種現代手持技術。

數學實驗室教學數學實驗室教學指利用數學實驗室的軟、硬件綜合設備進行教學，既包括在實體數學實驗室內進行的教學活動，也包括利用數學實驗室內的設備（尤其是圖形計算器，學生人手一臺）在其他多媒體教室進行的教學活動。

3　高中數學實驗室發展的三個階段

高中數學實驗室教學并非一個全新的問題，從最初的機器教學（程序教學），到CAI（計算機輔助教學），再到信息技術與數學課程整合，以至現在的數學實驗室教學，它們之間有一種傳承關系。因此，可以認為高中數學實驗教學的發展已經歷三個階段。其中，第一個階段以幾何畫板為主要的探究技術支持，第二個階段以圖形計算器為主要的探究技術支持，第三個階段以初步成型的高中數學實驗室綜合軟硬件設備為探究的技術支持。

以幾何畫板為主要的探究（實驗）技術支持較早的以幾何畫板為數學探究的技術支持的研究可以追溯到20世紀90年代末期。比如：陶維林于2000年在《數學通報》上發表的利用幾何畫板做實驗發現新的曲線的文章；李勁松在《遼寧師專學報》上發表的《以幾何畫板為平臺數學實驗室的創設》則明確提出創設以幾何畫板為主要技術支持的數學實驗室。這些研究受當時教育潮流的影響，大部分是數學CAI方面的研究。此后有數千篇關于幾何畫板教學應用的文章出現，涉及高中數學教學的方方面面，如今幾何畫板輔助高中數學教學已經常態化。張景中對比了幾何畫板與超級畫板等軟件的功能與設計思想，總結了幾何畫板用于數學實驗的優、缺點［2］。幾何畫板與其他動態數學軟件諸如超級畫板等已經在不少數學實驗教學中得到應用。

以圖形計算器為主要的探究（實驗）技術支持在幾何畫板作為數學探究技術支持的同時，圖形計算器逐漸走進課堂教學。在2001年，《數學教育學報》刊出的《談談圖形計算器對我國數學教育的影響》一文提出，利用圖形計算器與多種理、化、生等自然科學實驗的探頭相連接，就構成小型理科實驗室。學生通過實驗收集數據、進行數據統計，用直線或曲線進行擬合，建立數學模型對事物的發展做出預測，把他們所學到的數學知識用到實際問題的解決之中。這是統計概率方面的數學實驗。Alan T.Graham則研究了使用圖形計算器幫助字母運算的學習［3］。在圖形計算器環境下，學生可以通過給變量賦值體驗到變量變化對運算結果的影響，從而更好地理解字母運算。目前圖形計算器已經成為中學數學實驗室建設的必備（核心）硬件設備。

以高中數學實驗室軟硬件設備為探究（實驗）的技術支持經過以上兩個階段的發展，盡管還沒有高中數學實驗室建設的統一標準，不少學校已經建成有自己特色的高中數學實驗室。此時的數學實驗可以綜合幾何畫板、超級畫板等數學軟件以及圖形計算器等硬件設備作為數學探究（實驗）的技術支持。

4　圖形計算器的在高中數學教學中的應用

在高中數學教學中，圖形計算器的使用是一個比較熱門的話題。一般認為，高中數學中有一些內容適合利用圖形計算器進行教學，圖形計算器的使用有助于一些概念課、實驗課和探究課的教學。

圖形計算器應用于概念課的教學利用圖形計算器在函數作圖、方程曲線、隨機模擬、數據處理等方面的強大功能，可以改善數學課程內容的呈現方式與學習過程，縮短認知路徑。圖形計算器的使用可以讓概念教學更加自然、生動。如在偶函數概念的教學中，可以利用圖形計算器做出大量簡單的偶函數的圖象，讓學生觀察并找出圖象的共同特征，從而導出偶函數的概念。這種“觀察現象——總結規律——提煉概念”的方式，可以幫助學生更直觀地建構數學概念。利用圖形計算器圍繞數學概念的學習和理解展開，但不能濫用技術，圖形計算器只是輔助思考和理解，不能代替思考，更不能替代必要的作業和訓練。

圖形計算器應用于數學實驗的教學本文中所提出的數學實驗與物理、化學實驗的含義相近，指利用圖形計算器或者其他設備尋找學習對象數學上的規律，提出猜想或者檢驗某個已有的猜想，為猜想提供一些不完全歸納意義上的證據的一種綜合活動。圖形計算器應用于數學實驗的教學目前有借助圖形計算器的隨機功能，創設隨機問題模擬數學情境。在這樣的情境下，學生可以動手操作，觀察和獲取模擬實驗的結果，如拋硬幣的隨機試驗和通過模擬“撒豆子”計算圓周率等。模擬實驗主要依靠圖形計算器的簡單編程功能。此外，很多數學探究教學也同時是數學實驗教學。如利用圖形計算器作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象像，觀察振幅（或相位等）對該類函數圖象的影響，從而得出規律，等等。

圖形計算器應用于統計概率模塊的教學在統計概率的教學中，圖形計算器的使用已經較成熟，相關的研究也已經不少。Alan Graham開發了很多圖形計算器用于統計教學的案例，闡述了圖形計算器可以幫助學生獲得重要的統計學洞見和深刻的統計學思想。Jonaki Ghosh的研究記述了高一學生使用圖形計算器進行概率模塊學習的整個過程。授課在常規教室進行，使用的圖形計算器是Casio CFX 9850。研究發現，利用圖形計算器能有效實現隨機數、隨機試驗和樣本空間等概念的教學，凸顯了頻率和概率的聯系與區別。研究記錄了課堂教學后學生的主要反饋：“這些課幫助我探索和理解了概率的基本原則和思想。”“這些課讓我清楚明白了頻率和概率的區別，并讓我深刻認識到了兩者之間的聯系。”研究得出一些結論：學生能根據自己的需要利用圖形計算器做模擬試驗，能體驗到數學發現的喜悅；圖形計算器輔助教學較傳統教室能更集中學生的熱情和興趣；圖形計算器的使用可以增進交流，提出比傳統課堂更多的問題；圖形計算器可以通過大量試驗幫助學生估計隨機事件的概率，突出頻率和概率的區別［4］。

5　動態數學軟件在高中數學教學中的應用

幾何畫板在一些概念課的教學方面，應用幾何畫板可以將數學概念的形成過程呈現出來，可以直觀看到各種模式中數量關系的變化，可以把數和形的內在關系及其變化動態生動地展現出來，讓學生可以從這個過程中觀察、實驗、思考并建構數學概念。在解題教學方面，一些有關函數含參的問題可以借助于幾何畫板做出圖象，觀察圖象的動態變化，進而把“數”的問題轉化為“形”的問題，把抽象的問題轉化為直觀的問題，對解題有很大的幫助。在平面幾何解題教學中，幾何畫板作圖漂亮且十分方便，借助幾何畫板可以呈現解題從審題到回顧的全過程。

超級畫板由于幾何畫板更偏重“形”的方面，在代數、統計、算法等方面不能很好地滿足教學的需要，超級畫板在某種程度上彌補了這些不足。超級畫板集成了幾何畫板（動態幾何）、PowerPoint演示文稿、Excel電子表格、Mathematics符號運算、VB算法編程等多種軟件的基本功能，并在此基礎上增加了動態測算、邏輯、動畫、自動推理等功能［2］。因此，超級畫板與幾何畫板相比，其功能更為強大，并且更方便用于一線教學。遺憾的是，超級畫板部分功能需要付費使用，這一點影響它的使用范圍。

6　結語

高中數學實驗室已經逐漸進入學校，不少學校已經開始使用高中數學實驗室進行教學。作為一線教師，了解高中數學實驗室、了解圖形計算器等實驗室技術的使用，不僅可以拓展自己的視野，還可以為未來更好地應用高中數學實驗室技術進行教學做好準備。

［1］曹一鳴.數學教育研究與發展趨勢：第12屆國際數學教育大會的啟示［J］.數學通報，2012（11）：25-27，37.

［2］張景中，彭翕成.三款數學教育軟件的比較與設計思想分析［J］.中國電化教育，2010（1）：107-113.

［3］Graham A T. Building a versatile understanding of algebraic variables with agraphic calculator［J］.Educational Studies in Mathematics，2000，41：265-282.

［4］Ghosh J. Exploring Concepts in Probability: Using Graphics Calculators［J］.AMT，2004，60（3）：25-31.

G633.6

B

1671-489X（2016）03-0152-02

作者：蔣培杰，桂林中學，桂林市優秀數學教師，研究方向為數學教育（541001）；曹軒，宜昌市夷陵中學，研究方向為代數（443005）。