基于三角網(wǎng)格模型的紋理映射研究

萬 燕 王慧潔 魯 俊

基于三角網(wǎng)格模型的紋理映射研究

萬 燕 王慧潔 魯 俊

(東華大學計算機科學與技術系 上海 201620)

紋理映射可以在不增加三維模型復雜度的前提下很好地表現(xiàn)三維模型表面的紋理細節(jié)，提高三維模型的視覺效果。針對三維網(wǎng)格模型，提出一種用基于紋理圖冊的方法將模型進行分片，并利用最小二乘保形映射對分割得到的每一片進行平面參數(shù)化，控制了形變。再通過建立二維坐標系與紋理坐標系的關系，確定三維模型各個頂點的紋理坐標，從而對三維模型進行紋理映射。實驗證明，該方法能得到較好的紋理映射效果，增強了三維模型的真實感。

紋理映射 平面參數(shù)化 紋理坐標 三維模型分割 紋理重建

0 引 言

在計算機應用領域，對現(xiàn)實世界中三維物體的模擬重建是最主要的研究方向之一。計算機輔助設計、動畫制作、虛擬現(xiàn)實等領域都希望在計算機上實現(xiàn)對真實物體的逼真再現(xiàn)。除了幾何細節(jié)，真實的三維物體還有豐富的表面紋理信息，所以三維物體重建并不僅限于幾何重建，還包括紋理重建。只有將幾何信息和紋理信息融合在一起才能完整重建出高度逼真的三維彩色物體模型。紋理映射技術可以在不增加模型復雜度的前提下很好地表現(xiàn)模型表面的紋理細節(jié)，提高視覺效果，是重建真實感三維物體的重要技術之一。

紋理映射是將已獲得的包含紋理信息的二維紋理圖像映射到三維物體表面[1]。在映射過程中，紋理圖像的各個像素通過三維網(wǎng)格模型各個頂點的紋理坐標被分配到三維網(wǎng)格的對應頂點，從而將整個紋理圖像映射到三維模型上。所以紋理映射的本質是對三維網(wǎng)格模型的二維參數(shù)化，即求三維網(wǎng)格模型中每個三維點的紋理坐標[11](每個三維點在二維紋理空間中的坐標)。

在紋理映射領域，針對參數(shù)曲面，早期的紋理映射算法有遞歸分割參數(shù)曲面的Catmull算法和反向紋理映射的Blinn算法[4]。對于非參數(shù)化模型，Bier等提出了兩步紋理映射方法[4]。Song Yong Park等人通過物體不同姿態(tài)來獲取輪廓和表面信息，最后通過多視覺建模完成了紋理映射[4]。紋理映射需要解決的主要問題一是紋理圖像準確定位到相應的幾何模型上；二是紋理重建過程中紋理的扭曲和變形。如在模型曲率較大的地方，會出現(xiàn)比較嚴重的紋理變形。對于用三角網(wǎng)格表示的三維模型，減少變形的主要方法就是對三維模型的參數(shù)化過程進行優(yōu)化。三角網(wǎng)格模型參數(shù)化的主要的方法有：平面參數(shù)化、球面參數(shù)化[5]。球面參數(shù)化主要將網(wǎng)格參數(shù)化到它拓撲同構的球面，研究者提出了基于網(wǎng)格簡化，基于松弛等球面參數(shù)化方法。但算法的時間復雜度較高，在將球面模型映射到二維的紋理空間時，會引入新的形變。而平面參數(shù)化方法以其簡單穩(wěn)定的特點成為學術研究和工程應用最為廣泛的方法[5]。

平面參數(shù)化即把三角網(wǎng)格盡可能均勻的展平到二維區(qū)域中。在平面參數(shù)化中研究者又提出了等積映射、調和映射、保角映射等方法來減小變形失真[5]。而大多數(shù)研究者只是研究如何將單個開放面片參數(shù)化到平面中，然后進行紋理映射。本文以由三角網(wǎng)格表示的三維非規(guī)則封閉模型作為研究對象。采用一種用基于紋理圖冊的方法將模型進行分片，并利用最小二乘保形映射作為每片的平面參數(shù)化方法，再建立二維坐標系與紋理坐標系的關系，從而確定三維頂點的紋理坐標系，得到了較好的紋理映射效果。

1 紋理映射原理介紹

1.1 紋理映射

紋理映射就是建立從二維紋理坐標空間到三維物體拓撲空間的映射[1]，它一般遵循如下幾個步驟：

1) 建立二維紋理到簡單幾何體的映射；

2) 建立簡單幾何體到三維物體拓撲空間的映射；

3) 通過簡單幾何體，建立起從三維物體拓撲空間到二維紋理空間的紋理映射。

而平面參數(shù)化方法即選用平面作為中間簡單幾何體，如圖1所示。

圖1 平面參數(shù)化

因此基于平面參數(shù)化的紋理映射過程如圖2所示，其中，(1) 平面參數(shù)化；(2) 平面空間到紋理空間；(3) 紋理空間到三維幾何空間。

圖2 基于平面參數(shù)化的紋理映射過程

1.2 保形映射

如果曲面S上的任意兩條曲線的夾角與相應參數(shù)域中的對應夾角相等，即說明從曲面S到對應平面的映射是保形映射[7]。如圖3所示，二維空間中的點(u,v)經(jīng)過X關系映射到三維曲面上一點X(u,v)，如果對于二維空間中所有的點(u,v)，X映射都滿足式(1)，則X映射即為保形映射。向量N表示三維曲面的單位法向量。

圖3 保形映射示意圖

(1)

定理 從曲面S到平面S*的映射X是保形映射當且僅當這個映射X的第一基本形式JX的系數(shù)的變化比例相同，即σ1=σ2。即二維平面上的單位圓經(jīng)過保形映射到三維曲面上仍然是一個圓，如圖4所示，圖中，二維空間中的點u映射到三維空間上的點p，同時二維空間中的以點u為圓心，r為半徑的圓映射到p的切平面上成為一個以p為中心的橢圓，長短軸分別為σ1和σ2。

(2)

圖4 二維平面經(jīng)過保形映射到三維曲面

2 本文算法

本文采用了一種用基于紋理圖冊的方法將模型進行分片，并利用最小二乘保形映射作為每片的平面參數(shù)化的紋理映射方法，算法流程如圖5所示。

圖5 本文紋理映射算法流程

本文采用的紋理映射方法是先將閉合曲面分割成一組同構于圓盤的可展曲面，然后再對分割后的每個曲面進行平面參數(shù)化。為了不使紋理映射后的模型由于此步而出現(xiàn)明顯接縫，本文選擇在形狀和光照變化比較大的高曲率處進行分割，然后利用LSCM方法[7]參數(shù)化分割生成的一組可展曲面，并根據(jù)特征點的信息。通過最小化投影誤差，得到相應的信息，從而求得從三維模型到二維紋理的映射關系，用得到的映射關系將三維模型重新映射到二維紋理上得到三維模型每一點在此二維紋理上的位置，最終得到帶有紋理的三維幾何模型。

2.1 三維模型分割

由于基于保形映射的平面參數(shù)化只適用于等價于圓盤的可展曲面，所以必須先將閉合曲面分割成一組等價于圓盤的可展曲面。然后才可以對分割后的每個曲面進行平面參數(shù)化。為了不使紋理映射后的模型由于曲面分割而出現(xiàn)明顯接縫，選擇在形狀和光照變化比較大的高曲率處進行分割，可以減小接縫對于最終紋理映射真實感的影響。因此本文選用的三維模型分割方法是一種基于曲率的特征曲線網(wǎng)格分割算法——DFEC(detect feature expand charts)算法[8]。具體算法如下：

1) 通過基于邊關聯(lián)面的法向量夾角(SOD)檢測特征曲線，為避免獲得過多特征曲線，設定最小特征長度閾值，只保留部分滿足條件的特征曲線；

2) 以特征曲線為邊界，從邊界向內傳播，計算其他三角面到特征曲線的距離；

3) 以距離函數(shù)的極值點作為種子點，使用多源Dijkstra算法，同時從多個種子點進行區(qū)域擴展；

4) 如果兩個區(qū)域在距離種子點距離足夠小的地方相遇，則合并這兩個區(qū)域。

由于此算法沒有迭代過程，因此具有較高效率，而且分割結果完全可以滿足平面參數(shù)化算法的需要。

2.2 利用LSCM(Least Squares Conformal Maps)方法參數(shù)化

在得到一組可展并等價于圓盤的曲面后，需要對這些曲面進行參數(shù)化處理，將曲面參數(shù)化到同一個平面，形成一個用于紋理映射的空白的紋理Atlas圖。本文采用最小二乘保形映射(LSCM)方法[7]對曲面進行平面參數(shù)化處理。該算法的原理是對于每一個三角面片通過最小二乘逼近Cauchy-Riemann等式，使其滿足保形映射要求。算法具體過程如下：

1) T表示拓撲等價于圓盤的三角網(wǎng)格模型：

(3)

2) 為每個三角形構建一個位于三角形所在平面的局部正交基(x, y)，法向量同向于z軸。

3) 對于每一個三角面片T，都可以用上步定義的局部正交基表示，因此，映射u(R3->R2的映射)可以表示為(x,y)->(u,v)。根據(jù)Cauchy-Riemann方程，u為保形映射當且僅當滿足下式：

(4)

由于不可能使每一個三角面片嚴格滿足等式(4)，因此需要構造整體最小二乘約束的保形映射，即使式(5)的值達到最小：

(5)

4) 假設映射u在每個三角面片上都是線性映射，式(5)可以改寫為：

(6)

其中，A(T)為三角面片T的面積。

5) 假設ui=ui+ivi(i=1,2,…,n),可以將C(k)化簡為二次型形式：

C(k)=uTMTMu

(7)

其中u=(u1,u2,…,un)，M為m×n矩陣。

6) 為了使等式有唯一解，需要固定p個頂點(p>=2)，將向量分成uf、up，M=(Mf,Mp)，式(7)可改寫為：

C(k)=‖Mfuf+Mpup‖2

(8)

其中Mf是m×(n-p)階矩陣，Mp是m×p階矩陣。

7) 通過共軛梯度法求解上式的平方和最小化問題，并將平面參數(shù)化后的各個平面歸一化到同一平面，生成一個空白待映射的紋理Atlas圖，并得到每個三維頂點在此圖中的坐標(u,v)。

三維模型及其平面參數(shù)化處理后的結果如圖6所示。

圖6 三維模型及平面參數(shù)化處理后結果圖

2.3 計算從三維模型到二維紋理的變換關系

計算從三維模型到二維紋理的變換關系即通過約束點計算恢復相機的參數(shù)，得到變換關系。然后用得到的變換關系將整個模型重新映射到二維圖像上，得到每一點在圖像上的位置。即通過式(9)[9]計算三維模型上的點在二維紋理上的位置。

q=TG(p)=KR[I|-C]p

(9)

其中K為相機的標定矩陣(相機的內部參數(shù)信息)，R為一個旋轉矩陣，C為一個平移矢量，通過最小化誤差函數(shù)式(10)來得到變換關系T。

(10)

由于本文對三維模型進行紋理映射的二維紋理圖像和三維模型的狀態(tài)不能高度一致。如果對所有頂點都采用同一個全局變換關系進行變換，會導致模型和圖像不能準確對應，結果產(chǎn)生很大變形。因此為了使二維圖像能夠準確映射到三維模型相應位置上，本文采用的算法是根據(jù)每個頂點到約束點的歐式距離，得到每個點的權重，為每個頂點計算一個變換關系。而隨之出現(xiàn)的相鄰頂點的變換關系相差很大而導致紋理變形問題可以通過按一定順序處理各個頂點的方法來解決。計算三維模型每個點變換關系的具體算法過程如下：

1) 計算頂點v到約束點pi的距離D(v,pi)，并且計算頂點v對于約束點pi的權重：

(11)

其中，α=10-3,β=2。

2) 在頂點v處的變換關系為：

T(v)(p)=K(v)R(v)[I|-C(v)]p

(12)

(1) 式(12)可以用相機模型改寫為：

T(v)(p)=M(v)p+c(v)

(13)

假定相機在x、y軸上有相同的縮放比例，則：

(14)

(15)

(3) 式(15)可以改寫為：

(16)

使誤差和式(16)達到最小，即可求得該點處的變換關系。

為防止可能出現(xiàn)的由于相鄰頂點的變換關系很不同而導致紋理變形。本文通過這樣的處理順序來依次處理每個頂點：選取到所有約束點距離之和最小的頂點為中心點，其余點按照廣度優(yōu)先排序，每個點v的M(v)的初始估計值為定義為該點在廣度優(yōu)先搜索樹中父節(jié)點u的M值(中心點v0的M值的初始估計值通過奇異值分解的方式求得)。

2.4 顏色映射

通過以上算法，可以得到從三維模型到二維參數(shù)域和從三維模型到二維圖像的變換關系。最后需要把二維紋理圖像上的顏色信息添加到參數(shù)域中的相應點上，如圖7所示。

圖7 顏色映射示意圖

3 實驗結果及分析

本文使用Kinect掃描獲取真實的三維模型數(shù)據(jù)，使用相機獲取二維紋理信息，在Windows環(huán)境下，結合VC++、VTK和OpenNL實現(xiàn)了上述算法。將與三維模型不高度對應的二維紋理信息準確映射到三維模型的相應位置，提高了三維模型的真實感。圖8、圖9三維模型紋理映射上的效果圖。

圖8 紋理映射效果1

圖9 紋理映射效果2

由圖可以看到，二維紋理信息和三維模型的初始位置不同，本文映射方法可以較好地將二維紋理信息映射到三維模型上，增強了三維模型的真實感，為三維模型的進一步應用提供了很好的基礎。

4 結 語

本文針對三角網(wǎng)格模型提出一種基于保形映射的平面參數(shù)化和逐點計算變換關系的紋理映射方法，并通過實驗驗證了本文方法的有效性。該方法不要求二維紋理和三維模型初始位置高度對應，能夠得到很好地映射效果，而且大大減少了傳統(tǒng)方法中的紋理變形問題，增強了三維模型的真實感。該方法仍存在很多不足，如在計算三維到二維變換關系是需要人為指定約束點，雖然提高了約束點的準確性，但是自動化程度不高，能夠自動準確標定約束點，使得該算法有待進一步的改進，是未來研究的方向。

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ON TEXTURE MAPPING BASED ON TRIANGULAR MESH MODEL

Wan Yan Wang Huijie Lu Jun

(DepartmentofComputerScienceandTechnology,DonghuaUniversity,Shanghai201620,China)

Texture mapping is a good method to display the surface detail of a three-dimensional model without increasing the complexity of the model, and can improve the visual effect of model as well. For triangular mesh model, we presented a texture atlas-based method to slice the model, and used the least squares conformal mapping to conduct plane parameterisation on each segmented piece of surface, this controlled the deformation at the same time. Then we determined the texture coordinate of each vertex of three-dimensional model through the establishment of the relationship between two-dimensional coordinate system and texture coordinate system, thus completed the texture mapping of model. Experiments proved that this method achieved quite good texture mapping effect, and enhanced the realistic nature of three-dimensional model.

Texture mapping Plane parameterisation Texture coordinate 3D model segmentation Texture reconstruction

2014-09-13。國家自然科學基金項目(81372057)。萬燕，副教授，主研領域：圖像處理與模式識別。王慧潔，碩士生。魯俊，碩士生。

TP3

A

10.3969/j.issn.1000-386x.2016.04.038