挖掘教材　　超越教材*——由一道學(xué)考題引發(fā)的教學(xué)思考

●葉曉武　(永嘉中學(xué)　浙江永嘉　325100)

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挖掘教材超越教材*——由一道學(xué)考題引發(fā)的教學(xué)思考

●葉曉武(永嘉中學(xué)浙江永嘉325100)

摘要:做好對(duì)教材的挖掘和探究，是走向?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要渠道．由此借助2014年7月浙江省高中數(shù)學(xué)學(xué)考題的呈現(xiàn)，分析考題源頭，挖掘命題高度，理解問(wèn)題本質(zhì)．以學(xué)考題教學(xué)為例，總結(jié)復(fù)習(xí)教學(xué)中做好對(duì)教材問(wèn)題的背景和本質(zhì)的挖掘，更要做好對(duì)教材的探究和超越．引導(dǎo)學(xué)生把握教材知識(shí)的本質(zhì)，學(xué)會(huì)思考和探究，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣．

關(guān)鍵詞:學(xué)考;教材;阿波羅尼斯圓;數(shù)學(xué)思考

1　緣起學(xué)考——從學(xué)考題的解答中發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題

在2014年7月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試中，第33題(解答題的第3題)是一個(gè)中上檔的題目，涉及到求軌跡方程、圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題和圓與圓的位置關(guān)系的判斷等數(shù)學(xué)知識(shí)，需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯推理能力和分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力．本題滿分8分，全省平均得分不到2分，大多數(shù)考生不能解決這個(gè)問(wèn)題，不少考生在第2)小題中由于不能分析和看透問(wèn)題的本質(zhì)、缺乏靈活的分析與思考等數(shù)學(xué)基本素質(zhì)而導(dǎo)致失分．這樣的現(xiàn)象不禁引發(fā)筆者的深深思考，我們?cè)撊绾巫龊闷綍r(shí)的教學(xué)?如何培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力?如何提高學(xué)生分析和思考問(wèn)題的數(shù)學(xué)素質(zhì)?所謂授之以“魚(yú)”，不如授之以“漁”．

例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(－1，0)，(1，0)．設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)滿足|PA|=λ|PB|(其中λ＞0且λ≠1)．

1)求曲線C的方程，并指出此曲線的形狀．

2)對(duì)λ的2個(gè)不同取值λ1，λ2，記對(duì)應(yīng)的曲線為C1，C2．

①若曲線C1，C2關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)，求λ1，λ2的積;

②若λ2＞λ1＞1，判斷2條曲線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

(2014年7月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試數(shù)學(xué)試題第33題)

第1)小題重在考查求軌跡方程的“直譯法”，它是求軌跡方程方法中最基本、最通用的方法，是考綱要求掌握的基礎(chǔ)知識(shí)．第2)小題中的①考查圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的特性，若不能理解本質(zhì)，就很難求解，甚至無(wú)從求解;②中考查了圓與圓位置關(guān)系判斷的基本方法，但難處在于龐大的計(jì)算量，面對(duì)字母學(xué)生是“望而卻步”．

針對(duì)全省平均得分情況，筆者通過(guò)對(duì)部分學(xué)校學(xué)生的調(diào)查，了解到最主要的失分在于第2)小題，大多數(shù)學(xué)生束手無(wú)措．其一:面對(duì)那么多的字母參數(shù)他們有心理上的畏懼，想做又不敢做;其次，一些學(xué)生感覺(jué)應(yīng)該就是按常規(guī)的思路，但看到巨大的代數(shù)式就沒(méi)有信心也沒(méi)有能力繼續(xù)做下去;再次，更多學(xué)生不能理解本問(wèn)題，沒(méi)有對(duì)問(wèn)題做好本質(zhì)的分析，找不到解題的思路，看到那么多的字母以致無(wú)從下手．通過(guò)以上的調(diào)查與分析，我們應(yīng)該做好反思并改進(jìn)我們的教學(xué)．

2　源于教材——從對(duì)教材的處理中發(fā)現(xiàn)教師教學(xué)中存在的問(wèn)題

翻閱教科書(shū)可以發(fā)現(xiàn)，教材書(shū)上有好幾處練習(xí)對(duì)本知識(shí)點(diǎn)做了編寫(xiě)考查:

出處1人教社A版《數(shù)學(xué)必修2》第124頁(yè)B組第3題:已知點(diǎn)M與2個(gè)定點(diǎn)O(0，0)，A(3，0)的距離之比為，求點(diǎn)M的軌跡方程．

出處2人教社A版《數(shù)學(xué)必修2》第140頁(yè):信息技術(shù)應(yīng)用——用“幾何畫(huà)板”探究點(diǎn)的軌跡:圓．其中的例題:已知P(2，0)，Q(8，0)，點(diǎn)M與點(diǎn)P的距離是它與點(diǎn)Q的距離的，用“幾何畫(huà)板”探究點(diǎn)M的軌跡，并給出軌跡方程．

出處3人教社A版《數(shù)學(xué)必修2》第144頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組第2題:已知點(diǎn)M(x，y)與2個(gè)定點(diǎn)M1，M2距離的比是一個(gè)正數(shù)m，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形(考慮m=1和m≠1 這2種情況)［1］．

筆者調(diào)查了部分一線數(shù)學(xué)教師，對(duì)于課本上的題目他們的處理方式主要是2種情況:1)布置給學(xué)生做，基本沒(méi)校對(duì);2)沒(méi)有布置，因?yàn)楝F(xiàn)在有了配套作業(yè)本等課外輔助教學(xué)用書(shū)，書(shū)本上的作業(yè)基本沒(méi)做．了解中發(fā)現(xiàn)，幾乎沒(méi)有教師對(duì)這幾個(gè)題目引起重視，更談不上研究．作為學(xué)生，他們更不可能主動(dòng)去做這個(gè)題目，當(dāng)然就不會(huì)研究．

書(shū)本如此多次出現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題，設(shè)置這個(gè)題目作為課后習(xí)題，那肯定不失它的重要性和價(jià)值所在．其次，在信息技術(shù)應(yīng)用處用“幾何畫(huà)板”探究它，說(shuō)明了教材引導(dǎo)我們對(duì)其中本質(zhì)的挖掘．可許多教師卻丟棄了其“精華”，辜負(fù)了書(shū)本編者的初衷，背道而馳．大多數(shù)教師都只是在做更多的“應(yīng)試題”，進(jìn)行“題海戰(zhàn)術(shù)”．認(rèn)為僅需掌握?qǐng)A的基本知識(shí)就夠，卻忽視了對(duì)圓知識(shí)的深入思考、探究，缺少了對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的挖掘，也丟失了教學(xué)生學(xué)會(huì)思考和探究問(wèn)題的學(xué)習(xí)能力．這引起我們的思考:知識(shí)掌握了，技能學(xué)會(huì)了，我們能丟棄“數(shù)學(xué)思考”嗎?

3　“圓”歸教材——研讀教材，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)數(shù)學(xué)思考

對(duì)比學(xué)考題和書(shū)本習(xí)題，可以發(fā)現(xiàn):試題來(lái)源于教材，但又不拘泥于教材．教材上這3個(gè)問(wèn)題都是偏重求軌跡和軌跡方程，突出求軌跡方程的方法．細(xì)心挖掘，可以清楚地看到編者的意圖:在出處2中要求學(xué)生用“幾何畫(huà)板”探究，這里的設(shè)計(jì)就提醒我們對(duì)此問(wèn)題要深入挖掘．而學(xué)考題，它不但考查了求軌跡方程的基本方法，第2)小題更突出考查了學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析，把握問(wèn)題的本質(zhì)，做到有的放矢，從而達(dá)到胸有成竹地完成后續(xù)的計(jì)算．此處的“圓”，就是數(shù)學(xué)上著名的“阿波羅尼斯圓”，這其中的內(nèi)容豐富多彩．

由此告訴我們，對(duì)于教材上的知識(shí)和習(xí)題，我們不能只是完成了事，或?qū)λ弥活櫍鼛啄甑母呖济}趨勢(shì)都體現(xiàn)了題目的來(lái)源離不開(kāi)教材，但又不拘泥教材，這就要求教師要重視教材，用好教材，并挖掘好教材，超越教材．

3．1立足教材——挖掘整理，把握本質(zhì)，歸納思考

下面，筆者以學(xué)考題引發(fā)的思考，在高三復(fù)習(xí)中所開(kāi)設(shè)的一堂復(fù)習(xí)課為例，示范在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中如何挖掘教材，達(dá)到讓學(xué)生的知識(shí)技能得以提升的同時(shí)，也讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力得到培養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué)，學(xué)會(huì)“漁”的能力．

例2［2］滿足條件的△ABC 的面積的最大值是______．

(2008年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

學(xué)生的解法有如下幾種(簡(jiǎn)略敘述):

解法1(三角函數(shù)法)設(shè)邊長(zhǎng)BC=x，則

解法2引進(jìn)角變量∠ACB=θ，得，從而求得最大值為

從而求得最大值．

解法3(解析法)應(yīng)用“阿波羅尼斯圓”，將三角問(wèn)題解析化．

設(shè)A(－1，0)，B(1，0)，動(dòng)點(diǎn)C(x，y)，由AC=得

化簡(jiǎn)得

對(duì)比以上解法可以發(fā)現(xiàn)解析法對(duì)于此題的解決非常方便，這就是在“阿波羅尼斯圓”背景下解決問(wèn)題．為此，若學(xué)生理解“阿波羅尼斯圓”的由來(lái)及其概念，也并非需要用相關(guān)結(jié)論來(lái)解決，只需做到“心中有數(shù)”，那就能快速解題．而這一切的成果源自平時(shí)教師對(duì)教材的挖掘和對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)、啟發(fā)，從而讓學(xué)生把握本質(zhì)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考．

因此，若教師能在教材使用中，找到教材上的這3個(gè)問(wèn)題，歸類(lèi)講解，首先把這3個(gè)問(wèn)題同時(shí)布置給學(xué)生當(dāng)作業(yè)，校對(duì)講解，然后進(jìn)行拓展．可如下進(jìn)行教學(xué)操作:

環(huán)節(jié)1布置作業(yè)——就是教材上的出處1和出處2這2個(gè)問(wèn)題．

環(huán)節(jié)2作業(yè)校對(duì)講解，歸納總結(jié)，把問(wèn)題提升到得出“阿波羅尼斯圓”的概念．

環(huán)節(jié)3變式教學(xué)．

變式1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－1，0)，(1，0)．設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)滿足|PA|=m|PB|(其中m＞0，且m≠1)．求曲線C的方程，并指出此曲線的形狀．

變式2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B是2個(gè)定點(diǎn)．設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)滿足|PA|= m|PB|(其中m＞0且m≠1)．求曲線C的方程，并指出此曲線的形狀．

通過(guò)以上變式教學(xué)，讓學(xué)生立足于教材，又高于教材，在解答教材習(xí)題的過(guò)程中，歸結(jié)提煉出“特殊問(wèn)題”中存在“一般結(jié)論”．這樣的數(shù)學(xué)思考習(xí)慣，以及這樣思考所獲得的成就，學(xué)生一定能深刻掌握．這樣讓學(xué)生學(xué)會(huì)在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的同時(shí)做到習(xí)慣性地“數(shù)學(xué)思考”，讓數(shù)學(xué)知識(shí)和技能都得到提升，發(fā)展了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，培養(yǎng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好習(xí)慣，從而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，最終可謂是“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”．

3．2活用教材——探究學(xué)習(xí)，啟發(fā)思考，培養(yǎng)能力

顯而易見(jiàn)，上面的變式教學(xué)其實(shí)只是讓學(xué)生經(jīng)歷從“特殊”發(fā)現(xiàn)“一般”的結(jié)論．那到底是否理解其本質(zhì)的內(nèi)容?比值變化又有何區(qū)別?不同的比值間會(huì)有關(guān)系嗎?這都是教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)中要善于發(fā)現(xiàn)和思考的問(wèn)題．很多文章也都對(duì)“阿波羅尼斯圓”做過(guò)研究，各國(guó)高考也都對(duì)“阿”進(jìn)行考查，可他們都只是停留在對(duì)概念的考查，并沒(méi)有對(duì)其中本質(zhì)的挖掘．當(dāng)然，我們的教學(xué)肯定不能只停留在知識(shí)和技能上，更應(yīng)該教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)思考”，讓知識(shí)變得透徹，讓思維得以延續(xù)，讓數(shù)學(xué)本質(zhì)得以挖掘，啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考．為此，筆者建議教學(xué)進(jìn)行如下探究學(xué)習(xí)設(shè)計(jì):

探究1你能快速畫(huà)出上述的“阿波羅尼斯圓”嗎?

學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡已經(jīng)肯定是圓了，因此通過(guò)找特殊點(diǎn)M和N(在直線AB上)，其中這2個(gè)點(diǎn)只需要滿足:

然后就以MN為直徑畫(huà)圓即可(如圖1)．

圖1

在這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生采用了“特殊法”研究問(wèn)題的思想，很快解決問(wèn)題．這種思想在高考中也是探究一般性問(wèn)題或是探索性問(wèn)題的一種重要的研究思想，在此探究使用，讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)和掌握此方法的重要．

這里的M和N其實(shí)就是內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)，而且∠MPN=90°，以此線段MN為直徑作圓，這個(gè)圓即是所求圓．

探究2當(dāng)m的值變化時(shí)，此時(shí)不同的阿波羅尼斯圓會(huì)有什么區(qū)別和聯(lián)系?由此你能發(fā)現(xiàn)什么性質(zhì)?

學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)1m越大，點(diǎn)M越接近點(diǎn)B，點(diǎn)N也越接近點(diǎn)B，此時(shí)圓越小(因?yàn)橹睆組N在變小)．

學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)2集合包含．從集合的角度觀察，不同的m所對(duì)應(yīng)的圓是包含關(guān)系，即

其中m1＞m2，若P∈P1，則P∈P2．

學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)3對(duì)稱(chēng)性．由探究1學(xué)生發(fā)現(xiàn)比值m對(duì)圖形的影響，因此動(dòng)點(diǎn)P滿足條件，可知2個(gè)圓關(guān)于線段AB的垂直平分線(y軸)對(duì)稱(chēng)．

由探究1和探究3的思考與發(fā)現(xiàn)，學(xué)生理解了比值m的意義，此時(shí)學(xué)考題第2)小題中①的答案“呼之欲出”，然后只用常規(guī)的坐標(biāo)法加以驗(yàn)證．同樣，對(duì)于第2)小題中②的答案也是順應(yīng)產(chǎn)生，這樣的思考習(xí)慣，解題就輕松，當(dāng)然也是命題者的初衷．

學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)4由探究3學(xué)生的思維回到了熟悉的對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(其中a＞0且a≠1)與指數(shù)函數(shù)中的知識(shí):當(dāng)其中的a取2個(gè)相反的常數(shù)時(shí)，得到的函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，這種知識(shí)類(lèi)比的思維和遷移的思想能讓學(xué)生具備更強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力，學(xué)會(huì)更主動(dòng)地思考問(wèn)題．

通過(guò)以上的探究，學(xué)生不但掌握和落實(shí)了基本的求軌跡方程的方法，而且能站在更高的角度認(rèn)識(shí)“阿波羅尼斯圓”，其中m的取值對(duì)圖形的影響，不同m對(duì)應(yīng)不同圓之間的區(qū)別和聯(lián)系，而且通過(guò)探究4這個(gè)發(fā)現(xiàn)和類(lèi)比，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的奧妙、神奇和“豁然開(kāi)朗”．毋庸置疑，這樣的數(shù)學(xué)思考和探究，讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，更學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)思考，學(xué)會(huì)了學(xué)習(xí)和探究數(shù)學(xué)的思想方法，也培養(yǎng)了學(xué)生一種終身“會(huì)學(xué)習(xí)”的能力．

因此，學(xué)考和高考是我們教學(xué)的一個(gè)指導(dǎo)方向，而教材是一個(gè)基點(diǎn)．立足基點(diǎn)，朝著方向，我們可以清楚地看到考試的一個(gè)準(zhǔn)則是:多考一點(diǎn)思考，少考一點(diǎn)計(jì)算;回歸課本，超越課本．因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，我們必須重視教材，因?yàn)榻滩氖俏覀兊慕虒W(xué)工具，里面的題目是專(zhuān)家精心挑選的，具有代表性和遷移性．教師不僅要認(rèn)真教好教材，還要善于挖掘問(wèn)題的背景和本質(zhì)，讓學(xué)生達(dá)到“做一題，會(huì)一類(lèi)”，掌握知識(shí)的同時(shí)，更要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力．在復(fù)習(xí)過(guò)程中，我們要學(xué)會(huì)整理知識(shí)，抽出問(wèn)題的本質(zhì)，讓學(xué)生在思考中提升知識(shí)的同時(shí)，也提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考的學(xué)習(xí)能力．

參考文獻(xiàn)

［1］劉紹學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)必修2．A版［M］．北京:人民教育出版社，2013:124-144．

［2］袁玉芹．“阿波羅尼斯圓”高考現(xiàn)身［J］．?dāng)?shù)學(xué)天地:高中版，2012(2):4-5．

作者簡(jiǎn)介:葉曉武(1978－)，女，浙江永嘉人，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師，研究方向:數(shù)學(xué)教育．

修訂日期:*收文日期:2015-12-01;2016-01-05．

中圖分類(lèi)號(hào):O123．1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1003－6407(2016)04-10-04