用本促真　　貼地前行*——一道高二考題的思考歷程

●李學軍　(平湖中學　浙江平湖　314200)

?

用本促真貼地前行*——一道高二考題的思考歷程

●李學軍(平湖中學浙江平湖314200)

摘要:數學教師不僅要研究解題，更要研究學生的解題，引導學生用數學的思維去思考和解決問題，去體會、體驗在解題過程中的糾結和成功之后的快樂，實現真正意義的數學學習．本文結合一道學生似乎無法入手的考題，展示出筆者的思考歷程，得到6種解法，并進行一定的拓展．

關鍵詞:本真;迷茫;反思;拓展

學生在做數學題的過程中，大多數是尋找曾經做過的題目的味道，對于呈現他們面前的數學試題，不能很好地思考試題的根本考點、考查的基本數學方法，當在遇到陌生的數學試題時，有時會有一種無助的感覺．當遇到暫時無法入手的試題時，我們是否真正地想到了數學學習的本質，真正想起了用數學思維去思考需要解決的問題．章建躍也曾說過:“要讓學生養成‘回到概念去’思考和解決問題的習慣．”作為一線教師，筆者認為在平時的教學過程中，更應該關注數學學習的本質，用數學思維去思考數學問題．下面筆者以所任教學校2015年高二期中考試中的一道填空題為例，將這道試題的思考歷程呈現如下．

例1已知實數a，b滿足a2+b2≠0，過點M(－1，0)作直線ax+by+2b－a=0的垂線，垂足為N，點P(1，1)，則的最大值為______(答案:

1　不識廬山真面目——迷茫

初識此題，似乎無處著手，糾結于已知條件到底要告訴我們什么信息，因此，在這個猶豫徘徊的過程中有大量的時間從我們身邊悄悄溜走，與其臨淵羨漁，不如退而結網，我們完全可以從結論入手，要想求|PN|的最大值，必須要表示出|PN|，因此，非常自然就產生了如下的解法．

視角1函數思想

解法1過點M(－1，0)并且與直線ax+by+ 2b－a=0垂直的直線方程為

從而

當b=0時，N(1，0)，此時|PN|=1，

令t－3=n，則

則

解后反思這種解法對于學生來說，“痛處”在于較大的計算量，僅僅算出點的坐標就已經讓一部分學生感覺心生怯意了，接下來存在一定技巧的數據處理即二元變量到一元變量的轉化也是一部分學生無法掌握并且熟練運用的，第3層操作的障礙就是函數最值的處理，總體說來這種解法對于學生來說困難重重，算對實屬不易．

2　小荷才露尖尖角——清晰

在計算出|PN|2之后，發現表達式中有題目已知條件當中的a2+b2≠0，這難道是一種巧合還是另有玄機呢?這個形式卻可以讓我們聯想到圓的方程，因此，圓的參數方程的引入的想法也就產生了，就有了如下的解法．

視角2三角函數思維

解法2令a2+b2=r2(其中r＞0)，設a= rcosθ，b=rsinθ，則

解后反思這種解法的產生來源于對圓的參數方程的深入理解及結構形式的深入認識，以及對試題中所提供的已知條件能夠充分的銜接，能夠很好地考查學生對于知識的理解和運用的能力，存在一定的技巧性．

視角3軌跡法

解法3事實上點N的坐標滿足關系式也就是以字母a，b為參數的參數方程，如果通過消參化成普通方程，就能夠比較清楚地認識點N的軌跡方程，對于研究|PN|的最大值是非常有幫助的．因為

設點N(x，y)，則

設(x－1)2+(y－1)2=m，由

從而

因為關于y的一元二次方程有實數根，所以

解后反思對于同樣的一組數據，觀察的角度不同，就會產生不一樣的想法．對于已經解出的點N的坐標滿足關系式

我們可以把它們看成是關于參數a，b的參數方程．但是，對于這組參數進行整體消參還是具有較大的難度，需要較高的數學綜合素質．通過把參數方程轉化為普通方程，就能夠比較清楚地認識點N的軌跡是一個圓，然后再利用圓的相關知識進行求解．

3　橫看成嶺側成峰——再思

通過上述多種方法，已經探討出點N的軌跡方程是一個圓，那么這個問題就可以轉化為圓外一點到圓上一點的距離的最大值問題，接下來利用圓的相關知識和方法對解法進行如下優化．

視角4換元法

解后反思當我們已經知道點N的軌跡是一個圓的時候，就比較容易聯想到圓的參數方程，從而把問題轉化為求相關三角函數的最值問題．

視角五幾何法

解法5如圖1，設x2+(y+1)2=2的圓心C(0，－1)，直線PC交⊙C于點A，B，則

推薦理由:本書是數年難得一遇的思想巨制，是一本集經管、科普、社科、新思維于一身的作品，可以幫你化繁為簡，重審世界，將世間萬事的發展邏輯化作簡單、可預測、可推演的規模法則。利用規模法則，不僅可以了解身體機能，甚至可以重新審視生活節奏、居住環境、就業情況以及國家的未來。本書傾注了作者在物理學、生物學、經濟學、社會學等跨學科領域的畢生研究。

解后反思對于圓的問題一定關注圓心，利用數形結合構造三角不等式，從而能夠快速地得出想要的結果．

圖1

圖2

視角6特殊到一般

在講評的過程中，和學生進行溝通時發現:如圖2，大多數學生都已經發現了直線ax+by+2ba=0經過定點Q(1，－2)，然而學生不知道該如何利用這個定點的條件．事實上，學生在考試的過程中的確很難發現交點N的軌跡是一個圓，但是學生在思考的過程中真正缺少的卻是數學思考的基本思維方式:歸納、猜想、論證．學生僅僅畫出一個交點，根本就沒有辦法歸納出結論，但是只要多畫幾個交點N，然后再進行觀察，直觀感覺完全是可以猜測出點的軌跡有可能一個圓，然后充分利用好直角的關系，很快就可以得到點N的軌跡就是一個圓．

余下解法同上．

4　絕知此事要躬行——拓展

一道試題研究到這里，應該算是非常圓滿了，但是似乎還有些許意猶未盡的感覺．加涅曾經說過:“問題解決并不是簡單的就先前習得的規則的運用，它也是一個產生新的學習的過程．”因此，筆者嘗試了進行如下拓展．

解如圖3，由圓的知識知點N的軌跡是以線段QM為弦的圓所對的劣弧，QM: x+y+1=0，過線段QM的中點C的垂線方程為x－y－1=0．設圓心(t，t－1)，則

圖3

求出2段圓弧所在的圓的方程分別為

又因為

所以

解略，答案為:

拓展3已知點M(－1，0)，點Q(1，－2)且∠QNM=α(其中0＜α＜π)，點P(1，1)，求|PN|的取值范圍．

圖4

圖5

圖6

圖7

4)當時(如圖7)，此時點N的軌跡為以線段MQ為弦所在圓的2段劣弧，2個圓的圓心分別為A，B，此時點A的橫坐標xA＞1，點B的橫坐標xB＜－1，所在圓的半徑為r，因此

解后反思對一類問題的思考既要知其然，更要知其所以然．在思考數學問題的過程中可以將有規律的數學問題進行更深層次的挖掘、探究．這樣可以遵循數學的思維方式，即由特殊到一般的思考方式，并且以問題串的方式進行呈現，問題難度由易到難，循序漸進，思維水平也是由低到高，拾階而上．

結束語偉大數學家哈爾莫斯曾說過:“問題是數學的心臟”．數學的學習就是在不斷地提出問題和解決問題的過程中發展的．波利亞也說過:“掌握數學就意味著善于解題，不僅善于解一些標準的題，而且善于解一些要求獨立思考、思路合理、見解獨到和有發明創造的題．”學生在數學學習的過程中，領悟基本知識、基本方法的運用，通過引導學生歸納解題方法、技巧、規律和思想方法，促進知識向能力轉變，實現自我完善，爭取做一題通一法，會一類通一片的效果，讓我們的數學學習能夠腳踏實地的“高傲”的前行．

作者簡介:李學軍(1976－)，男，吉林省德惠市人，中學一級教師，研究方向:數學教育．

修訂日期:*收文日期:2015-12-11;2016-01-22．

中圖分類號:O122

文獻標識碼:A

文章編號:1003－6407(2016)04-27-04