真的不能用分離參數法嗎*

●藍云波　鄔海輝　(興寧市第一中學　廣東興寧　514500)

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真的不能用分離參數法嗎*

●藍云波鄔海輝(興寧市第一中學廣東興寧514500)

摘要:通過對幾類似乎不能用分離參數法解答的不等式恒成立問題的分析，走出了這幾類問題的實施分離參數法的思維困境，并通過尋找各種方法實現問題的解決．提高了學生解答問題的效率和能力，開闊了思維和視野．

關鍵詞:分離參數;思維困境;恒成立問題

分離參數是高中數學中的一種重要思想方法，在解題中占有重要地位．這種思想方法尤其適用于解決含參變量的不等式恒成立問題，常能起到化難為易的功效．筆者在教學過程中發現，學生尤其喜歡利用這種思想方法解答有關不等式恒成立問題，而且也確實收到了一定的成效．但對于某些問題，學生卻不能得到較好的解決，官方通常給出的解答并非是分離參數法，大都是通過其他方法使問題得到解決，這對于習慣了使用分離參數的學生而言，要想跳出原有的思維并非易事．因此，筆者嘗試解決這樣的困境，探討用分離參數的思想方法解決幾類似乎不能用分離參數解決的問題，現拋磚引玉如下．

1　利用代數變形，巧求極限值

1)判斷函數f(x)在區間(0，1］上是否為“弱增”函數;

2)設x1，x2∈［0，+∞)，x1≠x2，證明:

(2014年廣東省深圳市高中數學競賽決賽試題)

分析1)，2)略．

3)①當x=0時，a∈R，b∈R．

因此g(x)在(0，1］上單調遞減，從而

2　利用導數定義，突破極限值

例2設函數f(x)=x(ex－1)－ax2．

2)若當x≥0時，f(x)≥0，求實數a的取值范圍．

(2010年全國數學高考理科試題第21題)

分析1)略．

2)由已知得f(x)=x(ex－1－ax)≥0(其中x≥0)，即

當x=0時，a∈R;當x＞0時，分離參數得

令h(x)=xex－ex+1(其中x＞0)，則

因此h(x)在(0，+∞)上單調遞增，從而

綜上可知，a的取值范圍為(－∞，1］．

變式1已知函數f(x)=ex－e－x．

1)證明:f'(x)≥2;

2)若對x≥0都有f(x)≥ax，求實數a的取值范圍．

(2007年全國數學高考理科試題第20題)

(答案:(－∞，2］．)

3　虛擬設根，整體代換

例3已知函數f(x)=lnx－mx2，g(x)=，其中

2)若關于x的不等式F(x)≤mx－1恒成立，求整數m的最小值;

3)若m=－2，正實數x1，x2滿足F(x1)+ F(x2)+x1x2=0，證明:

(2015年湖北省八校高三第二次聯考理科試題)

分析1)，3)略．

所以

點評本題的難點在于函數最大值的求解，但極值點是一個超越方程的解，顯然無法求出．注意到本題所求的m為最小整數，故可利用虛擬設根、整體代換、零點存在定理的思想方法使問題得到圓滿的解答．

變式2設函數f(x)=ex－ax－2．

1)求f(x)的單調區間;

2)若a=1，k為整數，且當x＞0時，(x－k)f'(x)+x+1＞0，求k的最大值．

(2012年全國數學高考新課標文科試題第21題)

(答案:1)f(x)在(－∞，lna)上單調遞減，在(lna，+∞)上單調遞增;2)2．)

作者簡介:藍云波(1981－)，男，廣東興寧人，中學一級教師，研究方向:數學教育．

修訂日期:*收文日期:2015-10-05;2015-10-31．

中圖分類號:O122

文獻標識碼:A

文章編號:1003－6407(2016)04-13-03