巧用構(gòu)造法證明不等式*

●謝益飛　(柯橋中學(xué)　浙江紹興　312030)

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巧用構(gòu)造法證明不等式*

●謝益飛(柯橋中學(xué)浙江紹興312030)

摘要:不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中處于重要地位，但不等式的證明卻是一個難點．巧妙運用構(gòu)造法證明不等式往往能夠化繁為簡、化難為易．本文介紹了運用構(gòu)造法證明不等式的幾種常用方法．

關(guān)鍵詞:基本不等式;方程;函數(shù);數(shù)列;幾何圖形;向量

在數(shù)學(xué)解題中，不能直接運用邏輯推理一步一步地導(dǎo)出必要條件而得出問題的結(jié)論時，可以跳出原來問題所設(shè)置的圈子，從新的角度用新的觀點觀察、分析、解釋對象，別開生面地依據(jù)題設(shè)條件的特點，用已知條件中的元素為“元件”，用已知數(shù)學(xué)關(guān)系式為“支架”，在思維中構(gòu)造出一種新的數(shù)學(xué)形式，或者直接構(gòu)造出有關(guān)結(jié)論，使原問題中隱晦不清的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造中清楚地展現(xiàn)出來，從而簡捷地解決問題，這種解題思想稱為構(gòu)造．構(gòu)造法有積極的和可借鑒的地方，歷史上很多著名數(shù)學(xué)家，如歐幾里得、歐拉、高斯、拉格朗日等人，都曾經(jīng)用“構(gòu)造法”成功地解決過數(shù)學(xué)難題．

構(gòu)造法屬于非常規(guī)思維，用構(gòu)造法解題常使數(shù)學(xué)解題由難變易．不等式的證明問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個難點，本文舉例說明運用構(gòu)造法證明不等式的幾種常用方法．

1　構(gòu)造基本不等式

很多不等式可以利用題設(shè)條件構(gòu)造相應(yīng)的基本不等式再利用有關(guān)性質(zhì)進行證明．

例1設(shè)|a|，|b|，|c|均小于1，求證:

證明由條件|a|＜1，可構(gòu)造不等式1+a＞0，同理可構(gòu)造1+b＞0，1+c＞0，于是

同理可得

將式(1)展開得

將式(2)展開得

即

2　構(gòu)造方程

有的不等式可以從題設(shè)或結(jié)論的外形結(jié)構(gòu)作形似聯(lián)想，構(gòu)造出方程關(guān)系，使問題實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，從而獲得證明．

證明由結(jié)論b2≥4ac的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到Δ= b2－4ac≥0，從而構(gòu)造一元二次方程

評注此題也可根據(jù)結(jié)論的特點，將題設(shè)條件2邊平方得

3　構(gòu)造函數(shù)

有的不等式用普通方法很難證明，若巧妙構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)思想，則能迎刃而解．例3已知x，y，z∈(0，1)，求證:

(第15屆俄羅斯數(shù)學(xué)競賽試題)

證明構(gòu)造函數(shù)

因為y，z∈(0，1)，所以

而f(x)是一次函數(shù)，其圖像是直線，又x∈(0，1)，故恒有f(x)＞0，即(y+z－1)x+(yz－y－z+1)＞0，整理可得x(1－y)+y(1－z)+z(1－x)＜1．

評注此題條件、結(jié)論均具有一定的對稱性，然而難以直接證明，構(gòu)造函數(shù)簡單快捷．

例4已知a，b為實數(shù)，并且e＜a＜b，其中e是自然對數(shù)的底，證明:ab＞ba．

證明當e＜a＜b時，要證ab＞ba，即證blna＞alnb，只需證構(gòu)造函數(shù)(其中x＞e)，求導(dǎo)得，因為當x＞e時，lnx＞1，所以y'＜0，從而函數(shù)在(e，+∞)上是減函數(shù)，又e＜a＜b，故，即ab＞ba．

評注該題構(gòu)造函數(shù)，并運用了導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明不等式．

4　構(gòu)造數(shù)列

相當多的數(shù)學(xué)問題，尤其是證明不等式，嘗試“構(gòu)造數(shù)列”能產(chǎn)生意想不到的效果．

例5對一切非零自然數(shù)n，求證:

證明構(gòu)造數(shù)列{an}，使其通項為

則

因為

所以an+1＞an(其中n∈N*)，從而對一切自然數(shù)n，都有an≥a1＞1，即

評注與自然數(shù)有關(guān)的不等式證明，最常規(guī)的方法是數(shù)學(xué)歸納法和放縮法，但數(shù)學(xué)歸納法往往過程較繁，放縮法盲目性較大，通過構(gòu)造數(shù)列的方法可使證明過程更加簡潔明快．

5　構(gòu)造幾何圖形

若要證明的不等式中的數(shù)量關(guān)系有明顯的幾何意義，則可以通過某種方式與幾何圖形建立聯(lián)系，構(gòu)造圖形，將題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系直接在圖形中體現(xiàn)，然后在構(gòu)造的圖形中尋求結(jié)論．

例6如果x1，x2的絕對值不大于1，求證:

證明在直角坐標系內(nèi)作單位圓，⊙O的方程為x2+y2=1．如圖1，取OM1=x1，OM2=x2，作N1M1⊥x軸交⊙O于點N1，作N2M2⊥x軸交⊙O于點N2，則取M1M2的中點M，顯然

圖1

設(shè)MN交N1N2于點N'，由梯形的中位線定理知

即

6　構(gòu)造向量

代數(shù)、幾何、三角函數(shù)中的很多問題都可以利用向量來解決，不等式的證明問題有時也可以引入向量來解決．

例7設(shè)a，b，c，d為非零實數(shù)，求證:

并說明等號成立的條件．

由向量的三角形法則知

評注類似可證明

作者簡介:謝益飛(1983－)，男，浙江紹興人，中學(xué)一級教師，研究方向:數(shù)學(xué)教育．

修訂日期:*收文日期:2016-01-29;2016-02-29．

中圖分類號:O122．3

文獻標識碼:A

文章編號:1003－6407(2016)04-16-02