基于滑面應力場修正的改進極限平衡法

劉 光，陳建生，李明坤

(1.河海大學 巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室，江蘇 南京 210098；

2.河海大學 地球科學與工程學院，江蘇 南京 210098)

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基于滑面應力場修正的改進極限平衡法

劉 光1，陳建生2，李明坤1

(1.河海大學 巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室，江蘇 南京 210098；

2.河海大學 地球科學與工程學院，江蘇 南京 210098)

摘要：結合極限平衡條分法和有限元法的各自優點，提出從有限元法的分析結果中提取出滑動面上的應力分布，然后通過轉化求得滑動面上的正應力分布，以此正應力作為邊坡滑動面上的初始應力。引入兩個未知參數對滑動面上的正應力進行修正，把修正后的滑動面正應力帶入極限平衡方程組中，經簡單迭代計算，求出未知參數和邊坡的安全系數。通過對工程實例的穩定性計算，對比分析該方法和其他常用方法的計算結果，驗證了該方法的合理性，其計算結果能夠真實反映邊坡的穩定狀態。

關鍵詞：有限元法；極限平衡法；正應力修正；滑動面；應力分布；邊坡；穩定性

滑坡作為全球三大地質災害之一，一直是國內外學者研究的熱點，經過多年來學者們的不懈努力，邊坡問題分析方法的研究已獲得長足發展。現階段其計算方法主要是極限平衡法[1]和強度折減法[2]，極限平衡法的廣泛應用取得了良好效果[3-4]。但極限平衡法假定各土條為剛體，不能充分考慮土體的應力應變關系，同時其計算結果并不能完全反映邊坡的實際穩定狀態，因此這些方法存在很多缺陷[5]。為了解決上述問題，國內外學者對極限平衡條分法做了大量的改進工作[6-9]。為了解決極限平衡條分法評價邊坡穩定性的局限性，以有限元法為代表的巖土數值分析方法應運而生。這類方法不但能考慮坡體變形對邊坡穩定性的影響，而且能通過邊坡內應力應變分布分析邊坡失穩過程等，但其很難給出具有明確物理意義的穩定安全系數[10-11]。因此，郭子儀等[12]以切向和法向彈簧模擬滑坡體和滑床之間的接觸摩擦問題，提出了適合于邊坡問題的有限元極限平衡法。于斯瀅等[13]、朱大勇等[14]也在有限元極限平衡法方面做出了巨大貢獻。但他們的計算過程過于繁瑣，不便推廣。本文提出了一種新的方法，它通過引入兩個未知參數對邊坡潛在滑動面的正應力進行修正，然后利用極限平衡條分法，求出兩個未知參數和安全系數。無需對條間力進行假設，滿足嚴格的靜力平衡條件，并且計算結果比較可靠。

1 安全系數求解

圖1為具有一般形狀滑動面的二維典型邊坡剖面。t(x)、s(x)分別為邊坡的上、下部輪廓線，w(x)為邊坡土體內水位線，σ0(x)為利用有限元軟件計算出的邊坡滑動面上的初始正應力，σ0(x)為對初始正應力修正后的滑面正應力，u(x)為滑動面上的水壓力，a、b分別為邊坡滑動面的左右端點，單位寬度土條重度為w(i)，水平地震慣性力為Kcw(i)，Kc為地震影響系數。

1.1 靜力平衡方程

圖2為第i條塊詳細受力分析圖，其中單位寬度土條重度w(i)由w1(i)和w2(i)兩部分組成，w1(i)為單位寬度土條水位線以上土體的自然重度，w2(i)為單位寬度土條水位線以下土體的飽和重度，i條塊底部滑動面的傾角，條間力及滑動面上的正應力和剪應力見圖2。

利用有限元軟件確定邊坡滑動面條上的應力分布，然后將滑體分塊，確定任意條塊底部中心點的位置坐標(xbi，ybi)，從有限元軟件計算得到的應力場中提取出條塊底部中心點所在單元的應力信息(σxi，σyi，τxyi)，可得任一滑體底面的正應力：

(1)

式中，βi為條塊底部中點切線與豎直方向的夾角，βi=90°-arctan(s′(xbi,ybi))可由幾何關系得。

由于σoi是考慮了滑體變形后的正應力，再加上有限元計算中網格劃分等因素產生的誤差，有限元計算得到的應力場并不能完全反映邊坡滑動面上的實際應力狀態，需要對其進行適當的修正：

σi=ε(xi)σoi

(2)

(3)

式中：ε(xi)為修正函數，取線性形式；xi為條塊底部中心點橫坐標(即：xi=xbi)；xa、xb分別為a、b兩點的橫坐標。

在邊坡滑動面上，應用摩爾-庫倫強度準則：

τi=(ci+σitanφi)/FS

(4)

式中：FS為安全系數；ci、φi為滑面上土體的粘聚力和內摩擦角。

根據滑體的靜力平衡條件，可建立整個邊坡滑體的水平，豎向及繞坐標原點力矩的3個平衡方程組：

(5)其中：

x0i，y0i分別為條塊重心位置的橫坐標和縱坐標，lNi，lTi分別為坐標原點到條塊底部中點處法線方向和切線方向的距離，可由下式得出：

(6)

(7)

1.2 迭代法求解步驟

總靜力平衡方程有三個未知數，分別為：η1，η2和FS，可利用迭代法進行求解，具體求解步驟如下：

(1)初步估算安全系數的取值范圍(FS1,FS2)；

(3)令等式(5)等號的左邊等于M，把η1、η2和FS代入等式(5)等號的左邊求出M，若-ε

(4)若M>ε，則FS偏大，令FS2=FS；若M<-ε，則FS偏小，令FS1=FS。重復步驟(2)～(4)，直到求得滿足精度要求的安全系數的值。

2 算例分析

本文選擇Dawson等分析的一個均質土坡作為算例，該邊坡為均質土坡，高H=10 m，坡角β=45°，土體容重γ=20kN/m3，黏聚力с=12.38kPa，內摩擦角ф=20°。應用ABAQUS有限元軟件計算邊坡的應力場，采用增量位移法確定該邊坡的臨界滑動面，為了便于比較分別采用經典瑞典條分法、簡化Bishop法和Morgenstern-Price(M-P)對該邊坡進行計算，各種方法得到的滑動面如圖3所示。

由圖4可知，各種方法所得的滑動面正應力都呈現中間大，兩端小的倒U字形，與實際情況相符。在滑動面中下部，有限元法得到的滑動面正應力介于Bishop法和M-P法之間，但是所得正應力值相差不大，這是由于在邊坡中下部，這三種方法所求得的滑動面位置基本重疊；在邊坡中上部，有限元法所求得的滑動面位置較深，因此所得滑動面正應力值與另兩種方法相比較大。由于有限元法充分考慮了土體的應力應變關系，其計算結果更接近真實狀態。

表1為各種計算方法所得邊坡的最小安全系數，Bishop法和Morgenstern-Price(M-P)法計算的安全系數較大，分別為1.007和1.003；瑞典條

表1 各種計算方法所得邊坡最小安全系數

表2 模型材料參數

表3 兩種工況下不同分析方法的計算結果

分法不考慮條件力，不滿足完全平衡條件，所得安全系數較小，安全系數為0.963；本文方法和強度折減法所得安全系數分別為0.989和0.994，居于中間位置，證明本文所提出的方法是合理的，且計算精度滿足要求。

3 工程應用

本文選某斷面正常水位和洼地處囤積高水位兩種工況。工況1下，路基兩邊的邊坡穩定情況基本相同；工況2下，路基邊坡內會形成從右向左的滲流，路基左邊邊坡更容易發生滑移破壞，因此選取路基左邊邊坡進行計算完全可以反映整個斷面路基邊坡的穩定性。路基邊坡頂部寬12 m，高8 m，坡度為1:1.5，計算模型從坡角處向外延伸20 m，向下取14 m。模型材料參數見表2。

分別采用極限平衡法、有限元法和本文方法對該斷面兩種工況下路基邊坡進行比較分析。詳細計算結果見表3。

由表3可知，本文方法計算的安全系數與有限元法基本相同，處在中間位置，即使在特殊工況下，也能得到滿意的結果，再次證明了本文方法計算路基邊坡的合理性，能夠真實反映邊坡的穩定狀態。圖5為工況2下各種計算方法得到的滑動面正應力分布曲線。從圖中可以看出，Biship法和M-P法計算得到的滑動面正應力分布曲線基本重合，本文方法計算得到的滑動面正應力在邊坡中下部與前兩種方法相比較小，在邊坡中上部計算結果相對較大，但4種方法得到的分布曲線相差不大，均在邊坡中部達到最大值，而有限元法能夠充分考慮土體的應力應變關系，因此最能夠反映邊坡應力應變的真實情況，本文方法得到的滑動面正應力分布曲線與有限元法能夠很好地吻合，這也再次驗證了即使在特殊工況下本文方法的計算結果也能夠真實的反映路基邊坡滑動面的真實應力狀態。

4 結論

1)通過公式推導，得出了有限元法和極限平衡法相結合的理論公式，并對公式中未知參數的求解過程給出了程序化編程步驟。

2)結合工程實例，與其他方法計算結果相比，采用本文方法所得邊坡的安全系數大小處于中間位置，即使在特殊工況下也能得到滿意的結果，驗證了本文方法計算邊坡穩定性的合理性，其計算結果能夠較為真實地反映邊坡的實際穩定狀態及滑動面應力狀態。

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(責任編輯李軍)

The revised limit equilibrium method on normal stress placed on sliding surface

LIU Guang1,CHEN Jian-sheng2,LI Ming-kun1

(1.College of Civil and Transportation Engineering, Hohai University, Jiangsu Nanjing 210098, China；2.School of Earth Sciences and Engineering，Hohai University, Jiangsu Nanjing 210098, China)

Abstract：Combining the advantages of the limit equilibrium slice method and finite element method, the stress distribution on the sliding surface is concluded from the analysis result of finite element method. Through simple transformation, the normal stress distribution on the sliding surface can be obtained which could be used as initial stress on the sliding surface of slope. Then two unknown parameters were introduced to make correction for the normal stress which will led to the unknown parameter and safety factor of slope by substituting revised normal stress on the sliding surface into limit equilibrium equations and several simple iteration. By comparing the stability calculation results of the method introduced and other normal methods in specific engineering, the feasibility of the introduced method is verified.

Key words：the finite element method; the limit equilibrium method; modifying normal stresses

中圖分類號：TU43

文獻標識碼：A

文章編號：1673-9469(2016)01-0100-05

doi:10.3969/j.issn.1673-9469.2016.01.022

作者簡介：劉光(1991-)，男，安徽蕪湖人，碩士，研究方向為巖土工程及滲流理論與測試。

基金項目：國家重點基礎研究發展計劃項目 (2012CB417005)

收稿日期：2015-10-07