rank(A-AN(MTAN)-MTA)=rank(A)-rank(AN(MTAN)-MTA)成立的一個充分必要條件

張　騫, 袁永新

(湖北師范學院 數學與統計學院，湖北 黃石　435002)

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rank(A-AN(MTAN)-MTA)=rank(A)-rank(AN(MTAN)-MTA)成立的一個充分必要條件

張騫, 袁永新

(湖北師范學院 數學與統計學院，湖北 黃石435002)

摘要：借助于矩陣對的標準相關分解(canonical correlation decomposition)及矩陣A的滿秩分解, 得到了秩等式rank(A-AN(MTAN)-MTA)=rank(A)-rank(AN(MTAN)-MTA) 成立的一個充分必要條件。

關鍵詞：秩等式; 標準相關分解(CCD); 滿秩分解; 廣義逆

有關矩陣秩的等式和不等式的關系已經被許多學者研究過. 1974年，Marsaglia和Styan在文[1]中利用矩陣的廣義逆對矩陣的秩進行了系統研究, 得到了許多有名的秩等式及秩不等式關系. 在文[2]中, Cline R E對rank(A-S)=rank(A)-rank(S)進行了討論, 并且給出了等式成立的充要條件. Takane和Yanai[3～5], Galantai[6]討論了如下秩等式成立的充分條件與充分必要條件：

rank(A-AN(MTAN)-MTA)=rank(A)-rank(AN(MTAN)-MTA)

(1)

式(1)及其成立的條件稱為廣義 Wedderburn-Guttman定理. Wedderburn-Guttman定理[7～9]:

rank(A-AN(MTAN)-1MTA)=rank(A)-rank(AN(MTAN)-1MTA)

被廣泛應用于數值線性代數[10，11], 心理測量學[12，13]及統計學[14].

本文將借助于矩陣對的標準相關分解(canonical correlation decomposition)及矩陣A的滿秩分解,給出式(1)成立的一個充分必要條件. 和文[4]相比, 本文的方法更為簡潔明了.

本文記Rn×m為實數域R上所有n×m矩陣的集合, ORn×n表示實數域上所有n階正交矩陣, In表示n階單位矩陣AT, rank(A)分別表示矩陣A 的轉置和秩.A-表示矩陣 A的{1} -逆, 即滿足方程AXA=A 的任一解[15].

引理1(CCD分解)[16]設W∈Rk×r, Z∈Rr×q, 則存在正交矩陣Q ∈ORr×r和非奇異矩陣E1, E2使得

(2)

其中

∑1=I1 0 00 C 00 0 00 0 00 S 00 0 I4?è??????????÷÷÷÷÷÷÷÷ s tlsh-l-sr-h-t-sst∑2=I1 0 00 I2 00 0 I30 0 00 0 00 0 0?è??????????÷÷÷÷÷÷÷÷ l s h-l-slsh-l-sr-h-t-sst

C=diag(α1,…,αs),1>α1≥…≥αs>0

定理1設 A∈Rm×n,M∈Rm×k, N∈Rn×q, 假設矩陣 A的滿秩分解為A=FG , 其中F∈Rm×r,G∈Rr×n,rank(A)=rank(F)=rank(G)=r , 記W=MTF, Z=GN, 若[WT,Z]的CCD分解由式(2)給出. 則rank(A-AN(MTAN)-MTA)=rank(A)-rank(MTAN)

證明由式(2)可得

所以rank(A)-rank(MTAN)=r-(l+s)=r-l-s

(3)

(4)

則有AN(MTAN)-MTA=FGN(MTFGN)-MTFG=

(5)

從而, 由式(5)可得

rank(A-AN(MTAN)-MTA)=rank(Ir-GN(MTFGN)-MTF)=

(6)

據式(3)和式 (6) 可得 rank(A-AN(MTAN)-MTA)=rank(A)-rank(MTAN)

定理2設 A∈Rm×n, M∈Rm×k, N∈Rn×q, 假設矩陣 A的滿秩分解為 A=FG, 其中 F∈Rm×r, G∈Rr×n, rank(A)=rank(F)=rank(G)=r, (MTAN)-由式(4)給出, 則式(1)成立的充分必要條件為

Z33=Z31Z13+Z32CZ23

(7)

證明：由式(5)可得

l+s+rank(Z33-Z31Z13-Z32CZ23)

(8)

所以rank(A-AN(MTAN)-MTA)=rank(A)-rank(AN(MTAN)-MTA)

?r-l-s=r-l-s-rank(Z33-Z31Z13-Z32CZ23)

?Z33=Z31Z13+Z32CZ23

即式(1)成立的充分必要條件為 Z33=Z31Z13+Z32CZ23

定理2給出了式(1)成立的一個充要條件, 但驗證此條件需要求出 (MTAN)-的具體表達式,較為復雜. 注意到若記 B=N(MTAN)-MT, 則可得

ABABA=FGN(MTFGN)-MTFGN(MTFGN)-MTFG

由式(2)可得

(9)

通過比較式(8)和式(9), 我們會發現rank(ABABA)=rank(ABA)?Z23=Z31Z13+Z32CZ23

由此可得如下結果.

定理3設 A∈Rm×n, M∈Rm×k, N∈Rn×q,B=N(MTAN)-MT,則式(1)成立的充分必要條件為

rank(ABABA)=rank(ABA)

參考文獻：

[1]Marsaglia G, Styan G P H.Equalities and inequalities for ranks of matrices[J]. Linear and Multilinear Algebra, 1974, 2: 269～292.

[2]Cline R E, Funderlic R E.The rank of a difference of matrices and associated generalized inverses[J]. Linear Algebra Application, 1979, 24: 185～215.

[3]Takane Y, Yanai H. On the Wedderburn-Guttman theorem[J].Linear Algebra and its Applications, 2005, 410: 267～278.

[4]Takane Y, Yanai H. Alternative characterizations of the extended Wedderburn-Guttman theorem[J]. Linear Algebra and its Applications, 2007, 422: 701～711.

[5]Takane Y, Yanai H. On the necessary and suficient condition for the extended Wedderburn-Guttman theorem[J]. Linear Algebra and its Applications, 2009, 430: 2890～2895.

[6]Galantai A. A note on the generalized rank reduction[J]. Acta Math Hungarica, 2007, 116: 239～246.

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[8]Guttman L. A necessary and suficient formula for matric factoring[J].Psychometrika, 1957, 22: 79～81.

[9]Wedderburn J H M. Lectures on Matrices[M].New York:Dover, 1964.

[10]Chu M T, Funderlic R E, Golub G H.A rank-one reduction formula and its applications to matrix factorizations[J].SIAM Rev,1995,37: 512～530.

[11]Galantai A.Rank reduction: theory and applications[J].Internat J Math,Game Theory Algebras, 2003, 13: 173～189.

[12]Guttman L.Multiple group methods for common-factor analysis: their basis, computation and interpretation[J].Psychometrika, 1952, 17: 209～222.

[13]Takane Y,Hunter M A.Constrained principal component analysis: a comprehensive theory[J]. Appl Algebra Engrg Comm Comput, 2001,12: 391～419.

[14]Rao C R.The use and interpretation of principal component analysis in applied research[J]. Sankhya A, 1964, 26: 329～358.

[15]Israel A Ben, Greville T N E.Generalized Inverses: Theory and Applications[M].2nd Edition,New York: Springer-Verlag, 2003.

[16]Golub G H，Zha H Y. Perturbation analysis of the canonical correlation of matrix pairs[J].Linear Algebra and its Applications, 1994, 210: 3～28.

A necessary and sufficient condition for rank(A-AN(MTAN)-MTA)=rank(A)-rank(AN(MTAN)-MTA)

ZHANG Qian, YUAN Yong-xin

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi435002, China)

Abstract:In this paper, by applying the canonical correlation decomposition of the matrix pair and the full rank decomposition of the matrix A, we obtain a necessary and sufficient condition for the validity of the rank subtractivity formula rank(A-AN(MTAN)-MTA)=rank(A)-rank(AN(MTAN)-MTA)

Key words:rank equality; canonical correlation decomposition(CCD); full rank decomposition; generalized inverse

doi:10.3969/j.issn.1009-2714.2016.01.017

中圖分類號：O241.6

文獻標識碼：A

文章編號：1009-2714(2016)01- 0090- 04

作者簡介張騫(1989—)，男，河南省項城市人，碩士研究生，主要研究方向為代數學.

收稿日期2015—09—02