立序

荀步章

布魯納在《教育過程》中這樣闡述認知主義教育思想：“任何學科的內核是其結構，而不是具體的技術細節；盡管結構的本質是簡單的，但其存在形態卻可以是復雜的；任何學科，都是以結構為中心的符號形式系統。”數學課程結構嚴密，數學課堂結構更具普適性，數學素材呈現的首要任務是立序。數學素材呈現的“序”如何遵循認知主義的教育思想，符合兒童認知規律，促進兒童思維發展呢？

一、 立素材發展之序，幫助兒童思維生長

數學素材呈現與學科的內核結構應保持一致，才能遵循兒童思考問題的本質。追求素材呈現的順序與課堂發展順序一致，不圃于具體的技術細節，才能幫助兒童思維更好生長。筆者以蘇教版《數學》五年級下冊“確定位置”為例，分析教材編排與課堂生成追求的結構。

1.承前：用數對確定位置的起點

小學生已有經驗是用一個數確定位置，教材第一冊第14頁，老爺爺和小朋友排隊買票，他們排成一列，以窗口為參照物，老爺爺排第一，戴帽孩子排第二。這些內容，兒童有相應的生活經驗，教學只要激活兒童的生活經驗，用數學的方式表述，學生就會在線性層面上說清“第幾”。

2.需求：用數對確定位置的方法

一年級學習用“第幾”確定位置后，教材第十冊第15頁，再一次學習用兩個數確定位置。例題選取學生班級座位圖，從學生熟悉的情境出發，問“小軍坐在哪里？”學生回答時會出現幾種不同表述：“小軍坐在第4組第3個”，“小軍坐在第3排第4個”等等，由于說法不一致，產生統一表述的必要性，通常規定，“豎排叫做列，橫排叫做行。確定第幾列一般從左往右數，確定第幾行一般從前往后數”。把學生座位圖抽象成點圖，小軍坐在第4列第3行，讓學生表示他的位置，并說一說為什么這樣表示。

3.突破：用數對確定位置的超越

學會用數對確定位置后，常規的課堂練習是找數對與位置的對應關系。為了防止學生思維定勢，需要設計一些開放性、挑戰性的習題。如圖1，已知A點用數對（3，2）表示，估計B、C兩點分別用什么數對表示？讓學生猜一猜、說一說怎樣想的？再出示圖2，學生恍然大悟，點B用數對（5，3）表示，部分學生能夠猜出來。但點C的數對表示全班沒有一名學生猜出來，因為它是用小數表示數對，即用（6.5，3.5）表示，學生又提出可不可以用分數表示？引發學生用不同方法表示數對的興趣，并與后繼學習有效對接。

4.延伸：“線→面→體”用數對確定位置升華

學生掌握了用數對確定位置后，還不能停留于此，拓展學生的思維十分必要。幫助學生梳理，在一條線上，如何表示一點（圖3），從左向右數第4個，從右往左數第3個。由線到面，一排一排出示（圖4），紅色圓點如何表示？學生很快得到用數對表示為（4，2），簡潔方便。再由面到體，一層一層出示（圖5），共三層，在最上層找一個點涂上紅色，用什么方法表示呢？有學生提出用三個數來表示，思維得到了生長。

二、 立素材需求之序，促進兒童思維成長

布魯納說：“學習結構，就是要學習事物是如何關聯的?！币还澱n的時間雖短，但其結構存在形態卻可以是多樣的。高等數學與幼兒數學在結構上是一致的，但存在形態上具有很大差別。比如低年級“求差問題”，教師出示圖6問學生：“蘋果比梨多幾個？”學生回答：“多2個?！薄盀槭裁矗俊苯處熃又鴨枴W生回答：“就是多2個。”

教師的設計意圖是：“蘋果和梨是一一對應的，右邊多出來的兩個，就是蘋果比梨多的兩個。”然而學生心里怎樣想？“一眼就能看出多2個，這還要問嗎？”教材是靜態文本的“終結”呈現，過程的設計需要教師來“創造”。因此，設計素材呈現順序時可以考慮采用“倒序”的方式。出示圖7，教師問：“蘋果多，還是梨多？”學生慢慢地數，然后回答：“蘋果有9個，梨有7個，蘋果比梨多2個。”教師追問：“數的感覺怎樣？”學生說：“很麻煩，容易錯?！苯處熇^續追問：“有好辦法嗎，讓人一眼就看出來，蘋果比梨多幾個？”學生想到把蘋果和梨分別排成一排。教師再出示圖8，“現在看一看，蘋果和梨一樣多嗎？”教師說。學生連忙反對：“不對呀，蘋果比梨多2個呢！”教師說：“看起來一樣呀！我們把蘋果和梨對齊以后放的?！睂W生激動起來了，“不能這樣放，要把蘋果和梨一個一個對齊了，一下子就能看出蘋果比梨子多2個了?！苯處熢俪鍪緢D6。

教材中靜態的素材，要呈現怎樣的順序，讓學生經歷怎樣的思維，才能使學生的數學思想油然而生，這些都值得每一位數學教師認真反復地思考。這里素材采用“倒序”的方式，先“立序”后“編材”，幫學生建立“一一對應”的思想，從“無序”到“有序”，從“有序”到“一一對應”，螺旋上升，而不是硬塞給學生。課堂上先呈現給學生一組雜亂的蘋果和梨的擺放圖，讓他們通過數一數的方法解決問題，但感到數得麻煩，產生擺成一排比一比的心理需求。接著，教師按學生要求把蘋果和梨子排成一排，但不是一個對著一個，而是僅僅把水果兩端對齊，感覺到還不夠“工整”，產生“一一對應”的需求。學生在這一過程中，慢慢體悟到數學的思考方法，積累數學活動經驗，發展數學思維能力，形成數學思想方法。

三、 立素材驗證之序，提升兒童思維能力

在《教育過程》中，布魯納一直強調要重視兒童高級思維能力的開發，如頓悟與直覺思維等，它們在科學發現中起著重要作用，應得到充分的關注。如教學“乘法交換律和結合律”時，學生通過自學教材了解乘法交換律用字母表示為“a×b=b×a”，教師采用展示學生思考結果的方式呈現課堂結構。教師問：“你們有方法證明嗎？”學生說：“可以舉例子。”而且舉出了不同的例子：1×2=2×1、2×3=3×2、5×6=6×5。教師接著問：“例子舉得完嗎？有多少個？”學生說：“舉不完，有無數個?！苯處熣f：“我們猜想出來的規律，需要通過不同路徑來驗證。剛才，同學們舉了很多例子，還有其他辦法驗證嗎？其實，我們很早就明白這個道理了，看圖9，停車場停12輛汽車，如何計算呢？”學生答：“可以用4×3=12（輛），也可以用3×4=12（輛）?！苯處煟骸案鶕@幅圖，驗證乘法交換律，一排停a輛車，一共有b排，停車場的車輛一共有多少輛？可以用（a×b）輛，也可以用（b×a）輛，結果應該是一樣的?！?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2021/06/18/qkimagesjxgljxgl201609jxgl20160914-5-l.jpg"/>

乘法交換律教學一般是從教學情境出發，由算式引發思考，學生舉例發現交換律的規律。而上述教學從規律本身出發，提出猜想，這個乘法交換律對嗎？如何驗證？通過大量舉例發現規律的確定性，然而只是不完全歸納法。驗證運算律還可以通過不同路徑，從學生常見的情境出發，采用不同計算方法再次驗證乘法交換律，使學生確信并深刻感受到，規律是客觀存在的，并且是被經常運用的。由此推廣到乘法結合律教學，教師說：“乘法還有什么運算定律？”學生答：“乘法結合律：（a×b）×c=a×（b×c）。”教師說：“你們有方法證明嗎？”學生舉例：（1×2）×3=1×（2×3）、（2×3）×4=2×（3×4）、（5×6）×10=5×（6×10）。教師問：“例子舉得完嗎？有多少個？”學生答：“舉不完，有無數個?！苯處熡殖鍪救昙墝W習乘法時做過的一道題目，一共有多少箱蘋果，怎么列式？

學生答：“5×3×4?！苯處熣f：“先求什么？再求什么？”學生：“先求第一排有15箱，再求4排一共多少箱。”“還可以用5×4×3，先求第一層有20箱，再求3層一共多少箱?！薄斑€可以豎著求，4×3×5，先求一列12箱，再求5列一共多少箱。”教師小結：“其實，大家在列式的過程中，就存在著乘法結合律：（5×3）×4=5×（3×4）?！苯Y合學生已有體驗，挖掘教材素材，讓學生進一步體驗不同列式，根據算式意義，發現、運用乘法結合律。教材中的三維立體圖，采用數形結合的方法，求一共多少箱蘋果，學生從已有認知結構中提取經驗，并積累發展活動經驗，形成直觀模型，提升數學思維能力。

小學數學課堂教學以素材為載體、結構為中心、符號為系統，這是推動學科發展最重要的動力，教學的重心要放在培養學生的學科內驅力上，而不能僅憑外在刺激與獎勵等外在驅動手段。

【責任編輯：陳國慶】