“謬誤”糾偏求真諦

汪利文

摘要 本文以中學生數學解題“謬誤”為載體，展示學生的負思維過程，以提升思辨能力為目標。依據歸因理論剖析學生解題錯誤的成因，規劃科學的導學組合。

[關鍵詞]謬誤糾偏；歸因探討；導學組合；思辨提升

中學各門文化課的教學方式和應用取向都有所側重，有學科各自獨特的教育理念和功能定位。春蘭秋菊，各有千秋。

當代社會鮮明的提示：數學不僅是科學的工具，而且更具備文化價值。中學數學教學的思維訓練對促進學生大腦的全面發展，形成健全的人格和優良的思維品質無可替代。

中學課堂，學生面臨兩大類數學分支：“代數”與“幾何”。

代數學科知識瑣碎繁雜，多種概念網絡交織。思辨無處不在：僅負號和括號就貫穿于學習過程的始末，隨時需要運用相關概念思辨。從進行整式、分式、根式等運算中，當在學習各類方程的解法時，或討論不同函數的變異處，不斷提升著學生的思辨能力。

數學課的推理論證，用文字、圖形、符號等進行連續的幾何語言轉換，多角度、全方位的展示了數學的魅力！無論是由因導果還是執果索因，最終確立的是題設與結論邏輯上的必然聯系。通過系列證明題的訓練，直至學生形成比較完整的解題思路，逐步做到答題過程的規范嚴謹。不斷提高邏輯判斷、思維、推理能力。

歸因是指觀察者為預測和評價觀察對象的行為，并對其行為過程進行的因果解釋。這種先覺者能追溯、推斷和解釋因果的理論稱為歸因理論。屬于社會心理學的動機激勵理論范疇。其核心是從事件的結果狀態出發，追溯產生行為結果的主因，使準確預測后繼行為成為可能。

歸因理論的鼻祖當屬美國心理學家海德。后經著名的社會心理學家韋納等以實證研究充實和發展。韋納對影響行為結果的原因特性、原因結構以及原因歸因關乎情感、情感的激勵作用等都提出了獨創性的見解。

韋納在前人歸因研究的基礎上，構建了歸因的三維結構模式，即原因源×穩定性×控制性。他認為任何一項原因都可從運行維度進行定性分析。

教師根據多年的教學經驗，往往能在教學過程中推測學生將出現一些預知的解題謬誤。有時甚至故意布設陷阱與圈套，放任學生在不知不覺中發生錯誤的解答。直至無法理解的荒唐結論出現，致使學生們大惑不解！此時他們急想知道解題過程中產生錯誤的隱蔽原因，因而激發出學生們探究真理的欲望。

研究學生在解題過程中消極的歸因傾向，反而具備積極的警示功能！

數學教學理當培養學生的邏輯推理和思辨能力。中學生數學解題差錯不時發生。學生解題過程中的“謬誤糾偏”教學，在于教師的指向性導引，是訓練學生大腦的體操。對學生邏輯思維能力的形成和思辨能力的提高不可或缺。

在教學實踐中，把“謬誤糾偏”作為導學組合中的一個元素，確實對提高學生的思辨能力是行之有效的。而此能力通常是衡量學生數學水平高低的一項指標。

古人云：“授人以魚，只供一飯之需，教人以漁，則終身受用無窮。”

教師需經常挖掘一些解題“謬誤”的反面教材，讓學生辨析糾正后印象深刻，不斷提高解題正確率。學生在數學學習過程中出現了錯誤的解題信息，這是教師題庫中寶貴的教學資源，應當充分利用。幫助學生認識產生解題錯誤的原因，在警示作用下學到正確的解法。這是值得探討的課題！

失敗乃成功之母，謬誤為真理先導！

學生解題謬誤五花八門， 不自覺的差錯事出有因。本文從數學解題糾錯的意義、方法等側面進行探討。通過糾錯，將學生解題謬誤分類整理，概略分析。把原因源歸因定性為：（一.似是而非假亂真；二.生搬硬套模仿秀：三.偷龍轉鳳調包計。）反思主因，并初探相應的排障對策，規劃科學的導學組合。

1 似是而非假亂真

中數教學每堂新課幾乎都要出現新概念。本質上，這些以文字、符號、公式、

性質、定義、公理、定理等呈現出的均是概念。作為思維形式的顯性表現，數學概念具有類同性、排它性、抽象性、發展性等特點。概念反映的是“數”與“形”的本質特征。而學生往往受已學概念的固化影響，并由于對舊概念產生的聯想，對新概念內涵理解不深，僅僅停留在表層認識上。顧名思義，一知半解。就容易產生以假亂真的謬誤。此類現象在學生解題過程中層出不窮。概念性“謬誤”通常有下述表現：

1.1 混淆概念的內涵

如，倒數與相反數，前者是分子與分母倒置，后者是正負符號相左。乘方與冪，表示運算過程與運算結果的區別。差的平方與平方差，在于運算順序不同。直角與90°，前者是角的名稱，后者是角度的量數。三角形對邊與對應邊，是同一個三角形邊角關系區分不同三角形的對應邊之間的關系。相似形與位似形，指圖形同為相似形但位似形對位置有嚴格要求。一元二次方程與二次函數，前者只是函數變量在當它的值等于零時的特殊類型。

隨機現象與隨機事件，在隨機試驗中，可能出現也可能不出現，這種偶然發生的現象叫做隨機現象；將試驗結果稱為事件.在大量試驗中具有某種規律性的事件稱為隨機事件（或偶然事件）。

在概率論中，排列與組合，要看問題是否和順序有關。有關就是排列，無關則為組合。如：甲乙兩人排隊，有站法是甲乙、乙甲兩種不同的排列，所以排列有A（2，2）=2種。再如：從甲乙兩個球中選2個，無論先取甲，還是先取乙，和取球的先后順序無關，所以組合有C（2，2）=1種。

互拆事件與對立事件，對立事件是試驗結果的非此即彼；而互斥事件不會同時發生，但彼此互斥的可以有很多：比如擲骰子，正面朝上是1和非1，這兩事件是對立事件；而正面朝上是1和正面朝上是2則是互斥事件。對立事件一定是互斥事件（因不能同時發生），但互斥事件則不一定是對立事件。

1.2 無視概念的擴充

概念是最基本的思維形式，命題由概念構成。正確地理解概念，是學生掌握數學知識的前提。因此，數學的概念教學不可忽視。關于“數系”的擴充，是在歷史長河中逐步演變的。人類從認識自然數始，逐步擴展至算術數、分數、有理數、實數、復數…構筑了現代的代數體系。如在實數范圍內和在復數范圍內因式分解的結果是不同的。

概念具有確定性與靈活性。隨著年級的升高，數學知識的累積，概念的內涵和外延會起變化。概念將不斷擴充，逐步完善。教師應告知學生數學概念是相對真理。若總是受舊概念思維定勢束縛，無視概念的擴充，則解題必將出錯。如 “角”這個概念的擴充也是階段性的：最初僅限于對平角，周角的認識。當高中數學中把角擴展到任意角之后，還往往有學生認為第一象限的角都是銳角，即認識還停留在舊概念上產生的誤解。

1.3 聯想產生負遷移

聯想的負遷移，即應用之前所學的知識和方法解決遇到的新問題。如，由聯想得false由false聯想得false；由聯想得等等，都是聯想的負遷移所致。

教師需多進行概念的比較教學設計。

例如：對于反比例函數，下列說法不正確的是 （ C ）

A.點（-1，6）在它的圖象上

B.自變量的取值范圍是x≠0

C.當時，隨的增大而減小

D.當時，隨的增大而增大

反比例函數的圖象稱為“雙曲線”。函數false圖象的兩支分布在二、四兩個象限內。此選項極具欺騙性，故意設下的陷阱條件。當時，隨的增大而減小。殊知，只要是雙曲線的兩支分布在二、四象限。在每個象限內，都是y隨x的增大而增大。這是反比例函數無可爭議的性質。因此，不正確的說法為（C）。而，只是說明了雙曲線在第三象限。不會改變性質的結論。這里是把與 進行了概念聯想負遷移。

在概念教學中多質疑問難，消除由錯誤的聯想產生的負遷移作用，以發展的眼光去捕捉新概念中的變異，澄清模糊認識，幫助學生解惑，作為教師責無旁貸。

2 生搬硬套模仿秀

在“三角函數”一章中，有近二十個誘導公式。如果死記硬背這些公式，抓不住本質（符號問題），極易出現生搬硬套的差錯。

總結誘導公式的規律，教給學生一句口訣：“縱變橫不變，符號看象限”。但前提是需把角看作“銳角”再用公式。比如，用錯公式falsecos（-α）=cosα的概率是很大的。常見下面類型的錯解：

cos（-2π/3）=- cos（2π/3）=- cos（π-π/3）= cosπ/3=1/2

第一步就出現了不易察覺的錯！本例中cos（π-π/3）的角π落在橫軸上，屬于“橫不變”，即函數名稱不變。但在“符號看象限”時忽視了把角-2π/3看作“負銳角”，而生搬硬套sin（-α）=-sinα這樣的同象限角的三角函數公式。正確的解法應是：

cos（-2π/3）=cos（2π/3）= cos（π-π/3）=- cosπ/3=-1/2

在二次函數的教學中，有關符號的方向性意義應得到充分的重視：如：

拋物線由拋物線平移得到，下列平移正確的是（ D ）

A. 先向右平移2個單位，再向下平移3個單位

B. 先向右平移2個單位，再向上平移3個單位

C. 先向左平移2個單位，再向上平移3個單位

D. 先向左平移2個單位，再向下平移3個單位

觀察力又是邏輯思維和推理的技能，學生對題中符號的觀察無疑是第一反應。

從算術數擴展至有理數的學習過程中，學生處處受到“負數”及“減號”的困擾。加之數軸的方向性指引，一直以來，形成了頑固的思維定勢，生搬硬套使此題的解答正確率低。而此題正確的選項卻是（ D ），令學生百思不得其解，教師要教懂他們需頗費一番周折。

3 偷龍轉鳳調包計

邏輯思維與推理能力對學習數學至關重要。然而觀察力是思維的起點，是學生各項學習能力發展的基礎。如：

例1. 一副三角板如下圖疊放在一起，則圖中∠α的度數為 （ ）

75° B. 65° C. 60 D. 55°

初見本題，因它沒有顯性條件，似乎思路找不著北。進入思考后卻發現內有乾坤。它考察了低年級學生對三角形內角和與外角定理的熟練應用程度。是一道培育學生思維能力的好題！

從三角形全等的判定方法始，學生開始接觸幾何證明規范的書寫形式，關注題設與結論的因果關系。三角形全等中系統的判定方法是平面幾何證明的重要內容，在幾何證明中有著廣泛的應用。一般三角形全等有四條判定方法：“SSS”， “SAS”， “ASA”， “AAS”.此模型提供了明確的因果關系。在許多題中，給定的題設及圖形并不具有明顯的全等條件，這就需要我們細致的觀察、認真地分析。根據圖形的結構特征，挖掘潛在因素.使學生能進一步深入探究。

例2.如圖，若點D在AB上，點E在AC上且∠AEB=∠ADC則無法判定

△ABE≌△ACD的條件是（ ）

A.AD=AE B.AB=AC

C.∠B=∠C D.BE=CD

（例1） （例2）

圖形隱含的條件是公共角∠A.考慮各組判定方法的條件必考慮此公共角.此題有已知條件∠AEB=∠ADC，公共角∠A ，若再選擇∠B=∠C，因“角角角”定理不存在，三對角對應相等不能判定三角形全等！經以后的學習才知“角角角”只能判三角形相似。

任何數學命題均由條件與結論構成。學生在解題時忽略條件，重視結論的現象普遍存在。其實，結論是在特定的條件下才產生的。對條件既不能遺漏，也不能外加；對條件存在的范圍既不能縮小，也不能擴大。更不能把一般的條件特殊化。

要善于在審題時發現隱蔽條件，而這樣的條件極易被忽視。

為加深學生對數學概念及定理的理解，教師往往精選一些相關的題型鞏固新學的知識成果。如推出反比例函數自變量的值與函數值大小關系的比較題：

例3.已知，，是反比例函數的圖象上的三個點，

且，則的大小關系是 （ ）

A. B.

C. D.

我們可從圖象上觀察到：分布在不同象限內的點的橫坐標的大小比較與性質

卻截然相反。丟棄性質“在每個象限內”的前提，就實施了偷龍轉鳳調包計。

習題錯解警示：對概念當理解本質；對結果要追本窮源；對知識須靈活運用。

在學生五花八門的解題亂象中，對癥下藥，從謬誤中求真諦，是教學的必要環節！

數學已然不是數字的運算！它的觸角涉及廣泛：從整式的乘法與因式分解的互逆變形；由各類方程到不等式，把等量關系又擴展至不等關系；多變的函數使數學由靜態過渡到動態。數學世界，七彩繽紛，別有洞天。點動成線、線動成面、面動成體，大千世界處處皆幾何；三角形、矩形、菱形、圓形…。圖中的邏輯關系闡明沒有規矩不成方圓的社會鐵律！

德國教育家第多斯惠精辟的指出：“教學的藝術不在于傳授本領，而在于喚醒、鼓舞和激勵”。

三尺講臺，數學教師任重而道遠。在課堂我們激發靈感、鼓勵置疑、拋磚引玉，引領蠻荒的大腦迸擦出智慧的火花。在課余我們致力于題型的發掘、教法的探討，為提升學生智能殫精竭慮。本文拓延——更應運用歸因理論，激發學生積極的歸因動機。以導激學、以學促智。擬開展的主題研究：

（1）迷惑型，發掘學生批判選擇的能力。

（2）類比型，訓練學生舉一反三的能力。

（3）發散型，引導學生求異創新的能力。

作者單位

浙江體育職業技術學院