學(xué)習(xí)進階在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

王靜 胡典順

摘 要 研究學(xué)習(xí)進階的內(nèi)涵、特點、組成要素以及研究步驟有利于更好地理解學(xué)習(xí)進階。以數(shù)學(xué)概念“統(tǒng)計量”為例，在學(xué)習(xí)、理解、領(lǐng)會學(xué)習(xí)進階的理論基礎(chǔ)上，通過研究數(shù)學(xué)教材、數(shù)學(xué)課程標準，進而提出數(shù)學(xué)中平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)這三個統(tǒng)計量學(xué)習(xí)進階的預(yù)期進階水平以及達成預(yù)期學(xué)習(xí)進階水平的路徑。研究學(xué)習(xí)進階在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，對于課堂教學(xué)的指導(dǎo)、完善課程標準及教材的編訂，以及學(xué)生學(xué)業(yè)成就的評價都有積極的作用。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進階 內(nèi)涵 特點 要素 應(yīng)用

一、學(xué)習(xí)進階概述

1.學(xué)習(xí)進階的內(nèi)涵

2011年7月，美國國家研究委員會（NRC）發(fā)布《K-12年級科學(xué)教育框架：實踐、跨科學(xué)概念和核心概念》，這個文件的發(fā)布標志著美國新一輪的教育改革開始了，此次改革明確提出按照學(xué)習(xí)進階（Learning Progression）的理念來促進學(xué)生掌握核心概念。美國希望通過研究學(xué)習(xí)進階來改變以往“廣而不深”的課程體系，打破課程、教學(xué)與評價不一致的局面，因此，學(xué)習(xí)進階成為近年來美國科學(xué)教育領(lǐng)域的研究熱點。目前，教育科學(xué)界對學(xué)習(xí)進階的定義還沒有統(tǒng)一的界定。史密斯等認為“學(xué)習(xí)進階是學(xué)生在學(xué)習(xí)時對一系列概念連續(xù)的、逐漸復(fù)雜的思維方式”；羅曼斯等認為“學(xué)習(xí)進階是從小學(xué)延續(xù)到高中的一條符合邏輯和學(xué)生發(fā)展的概念序列”；賽琳娜界定學(xué)習(xí)進階為“以實證為基礎(chǔ)的、可檢驗的假說，它闡釋了在一段時間內(nèi)經(jīng)過適當?shù)慕虒W(xué)指導(dǎo)，學(xué)生對科學(xué)核心概念、科學(xué)解釋以及科學(xué)實踐的理解和運用是如何逐漸發(fā)展、逐漸深入”[1]。NRC將學(xué)習(xí)進階定義為“對學(xué)生在一個較大時間跨度內(nèi)學(xué)習(xí)和研究某一主題時，所遵循的連貫的、逐漸深入的思維路徑的假定性描述”[2]。綜上，學(xué)習(xí)進階是學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)某一主題的過程中，從尚未接受教學(xué)，到開始學(xué)習(xí)，最后至完成此學(xué)習(xí)階段，學(xué)習(xí)者對于主題內(nèi)概念的想法與理解程度，逐漸精致化并趨于成熟的發(fā)展過程，是在一段時間內(nèi)，學(xué)生對于某一核心概念的學(xué)習(xí)進展情況和進步發(fā)展歷程。

2.學(xué)習(xí)進階的特點

（1）圍繞核心概念展開

核心概念是各個學(xué)科中能夠把基本知識框架搭建起來的起關(guān)鍵性作用的概念，數(shù)學(xué)中的核心概念能將不同數(shù)學(xué)概念的理解結(jié)合成為一個有條理的整體，是對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)而言極為重要的概念。數(shù)學(xué)學(xué)科中的核心概念可以是課程標準中提出的數(shù)感、符號感、符號意識、空間觀念、創(chuàng)新意識、模型思想等比較抽象的概念，也可以是因數(shù)、倍數(shù)、方程、圖形變換、向量、統(tǒng)計量等比較具體的知識點。學(xué)習(xí)進階正是圍繞這些核心概念來研究學(xué)生知識習(xí)得的由淺入深、由易到難的過程。

（2）研究過程具有實證性

學(xué)習(xí)進階是通過研究教材、課程標準、文獻等資料提出的，開發(fā)一個學(xué)習(xí)進階的目的是判斷學(xué)生的知識水平屬于學(xué)習(xí)進階的哪個階層、驗證學(xué)生的表現(xiàn)是否與學(xué)習(xí)進階的描述一致以及預(yù)測學(xué)生的知識發(fā)展路徑等。要達到這些目的必須對學(xué)生評量施測進行實證研究以獲得學(xué)生的學(xué)業(yè)表現(xiàn)。

（3）進階途徑具有多樣性

某一核心知識的學(xué)習(xí)進階只能代表典型發(fā)展路徑，只能代表大多數(shù)學(xué)生的知識發(fā)展水平，而由于學(xué)生的基礎(chǔ)水平、教育背景、認知發(fā)展規(guī)律等都存在個體差異，同一個學(xué)習(xí)進階不一定符合每一個學(xué)生。對于學(xué)習(xí)進階中的某一個水平，不同的學(xué)生所達到的時間和所掌握的程度不一定相同，因此，學(xué)習(xí)進階的途徑具有多樣性。

（4）學(xué)習(xí)進階的假設(shè)性

學(xué)習(xí)進階的開發(fā)是通過系統(tǒng)分析當前大量的理論與實證研究得到的假設(shè)性發(fā)展路徑描述，通過實證研究驗證之后需要不斷地修改與完善。

（5）學(xué)習(xí)進階的層級性

學(xué)習(xí)進階中的每一個階段都是前一個階段所要達到的目標，同時也是后一個階段的認知基礎(chǔ)，各個階段的學(xué)習(xí)是循序漸進的，每個階段代表一種新的認知發(fā)展水平。學(xué)生獲得核心知識的過程則是從學(xué)習(xí)進階的最低階層逐漸發(fā)展到最高階層的過程。

3.學(xué)習(xí)進階的組成要素

學(xué)習(xí)進階大致包括進階起點和終點、進階水平、學(xué)業(yè)表現(xiàn)、進階維度、測評工具這五個核心要素。

（1）進階起點和終點

進階起點是學(xué)生開始學(xué)習(xí)某個核心概念所具有的水平，進階終點是學(xué)生學(xué)習(xí)某一特定核心概念時所能達到的最高水平。

（2）進階水平

進階水平是指學(xué)習(xí)進階的各個階層所要達到的目標，是學(xué)習(xí)進階所描述的發(fā)展路徑上的各個步驟，它反映學(xué)生在掌握核心概念時的階段性與順序性，各個進階水平是相互關(guān)聯(lián)的。

（3）學(xué)業(yè)表現(xiàn)

學(xué)業(yè)表現(xiàn)描述學(xué)生處于某個特定進階水平時的具體表現(xiàn)。參照各個進階水平的學(xué)業(yè)表現(xiàn)，研究者可以判斷學(xué)生處于學(xué)習(xí)進階的哪一個發(fā)展水平。

（4）進階維度

進階維度是指學(xué)生學(xué)習(xí)了多個核心概念時，通過追蹤這些核心概念的發(fā)展路徑可以了解學(xué)生的整體學(xué)習(xí)情況。只有當學(xué)生逐漸掌握越來越多的核心概念，研究者分析學(xué)生的各個進階維度時才能了解學(xué)生掌握整個學(xué)科基本知識框架的程度。

（5）測評工具

測評工具是根據(jù)學(xué)習(xí)進階編制的評量試題，通過學(xué)生的答題表現(xiàn)來檢測學(xué)生所處的發(fā)展階段，評量試題應(yīng)該隨著學(xué)習(xí)進階的修改而進一步完善。一個學(xué)習(xí)進階最好開發(fā)多套評量試題。

4.學(xué)習(xí)進階的研究步驟

建構(gòu)新的學(xué)習(xí)進階應(yīng)先確定進階要圍繞的核心概念，提出有效的進階假設(shè)；然后根據(jù)假設(shè)選擇測量模型，開發(fā)測量工具收集證據(jù)；最終才能基于證據(jù)修訂假設(shè)，逐步完善進階。研究者在開發(fā)學(xué)習(xí)進階時，各有其不同的研究方法，主要包括文獻研究法、設(shè)計研究法、訪談法、問卷法等。從這些不同的研究方法中，可歸納出某些具有順序性的步驟（見表1）。

按照學(xué)習(xí)進階研究的步驟，在選好核心概念之后，應(yīng)該仔細研讀學(xué)科課程標準以及教材，并且大量查閱相關(guān)核心概念的研究文獻，在此基礎(chǔ)上初步提出核心概念學(xué)習(xí)進階的預(yù)期水平。提出預(yù)期的進階水平之后，通過實證調(diào)查逐步完善學(xué)習(xí)概念也是一個非常重要的過程。

二、學(xué)習(xí)進階的應(yīng)用舉例——以數(shù)學(xué)概念“統(tǒng)計量”為例

基于學(xué)習(xí)進階的理論研究，在分析教材、課程標準和以往對統(tǒng)計量研究的文獻的基礎(chǔ)上，劃分數(shù)學(xué)概念掌握的預(yù)期水平。以“統(tǒng)計量”這個核心概念為例，探討統(tǒng)計量的學(xué)習(xí)進階預(yù)期水平（本文只涉及平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)這三個統(tǒng)計量）。

1.課程標準對這三個統(tǒng)計量的要求

參考《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年）》和《普通高中數(shù)學(xué)新課程標準（實驗）》，將課程標準中對平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)知識的要求整理成表2。

數(shù)學(xué)課程標準對這三個統(tǒng)計量知識的要求的明顯變化是，在第一學(xué)段中取消了原來對平均數(shù)的要求，把該內(nèi)容移到了第二學(xué)段；第二學(xué)段中位數(shù)、眾數(shù)內(nèi)容也往后移。同時，從表2中可以看出隨著學(xué)習(xí)年級的升高，對平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的要求也越來越高。課程標準對知識要求的銜接性與學(xué)習(xí)進階連貫、逐漸深入的思維路徑的描述一致，課程標準的制定考慮學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律與認知發(fā)展規(guī)律也同樣給學(xué)習(xí)進階的開發(fā)帶來啟發(fā)意義。

2.教材中這三個統(tǒng)計量的知識分布

為了明確義務(wù)教育階段和高中階段數(shù)學(xué)教材中統(tǒng)計量知識的分布，本文選取北師大版最新教材作為研究的參考教材。根據(jù)教材內(nèi)容的安排，并結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)這三個統(tǒng)計量的相關(guān)知識點對其作整理（如表3）。

從表3中可以看出，教材中統(tǒng)計量內(nèi)容的組織與安排遵循數(shù)學(xué)課程標準中循序漸進的精神。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的內(nèi)容在小學(xué)、初中和高中教材中都有安排，并且是按照循序漸進、由淺入深的原則安排在各個學(xué)段，對知識掌握目標的要求也是隨著年級的升高而逐漸提高。教材安排的這種規(guī)律與學(xué)習(xí)進階連貫逐漸深入的特性是一致的。因此，仔細研讀教材對構(gòu)建統(tǒng)計量的學(xué)習(xí)進階有很大的參考價值。

3.查閱統(tǒng)計量相關(guān)研究

對國內(nèi)統(tǒng)計量相關(guān)的研究文獻進行回顧與總結(jié)，了解研究者過去關(guān)于學(xué)生統(tǒng)計量學(xué)習(xí)表現(xiàn)的研究發(fā)現(xiàn)。有研究者經(jīng)過調(diào)查研究得出以下結(jié)論：學(xué)生對統(tǒng)計量中的計算問題處理得比較好；對平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等統(tǒng)計量的綜合運用有困難；不會從統(tǒng)計思想方法的角度思考問題，解決實際問題；對平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)三個統(tǒng)計量意義的區(qū)別和聯(lián)系不是很清楚；從初步理解統(tǒng)計量術(shù)語到使用統(tǒng)計語言和概念去理解實際問題仍然存在很大困難，即使是面對簡單的實際問題，學(xué)生對統(tǒng)計量的理解也處于較低水平[3]。學(xué)生在課堂上注重理解統(tǒng)計的事實性知識或程序性知識，較少參與到統(tǒng)計概念性知識的活動中。學(xué)生如果忽略概念的重要性，可能就無法真正掌握相關(guān)知識的本質(zhì)，企圖改變這種現(xiàn)狀也是研究學(xué)習(xí)進階的意義所在。

學(xué)生統(tǒng)計量學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的種種問題，可能是學(xué)生在學(xué)習(xí)進階發(fā)展路徑中暫時無法到達下一階層的阻礙因素。因此，前人的這些統(tǒng)計量相關(guān)研究成果也是我們構(gòu)建學(xué)習(xí)進階的參考內(nèi)容。

4.統(tǒng)計量假設(shè)性學(xué)習(xí)進階的建構(gòu)

結(jié)合課程標準和教材對平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)知識的目標要求以及學(xué)生在統(tǒng)計量內(nèi)容中的學(xué)業(yè)表現(xiàn)情形的闡述，基于學(xué)習(xí)進階的理論研究，可以提出6個統(tǒng)計量學(xué)習(xí)進階的進階水平，并列出每一水平中學(xué)生的預(yù)期學(xué)業(yè)表現(xiàn)。

學(xué)生對平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)這三個統(tǒng)計量的認知大致按這種預(yù)期水平前后連貫、逐漸復(fù)雜和精致地發(fā)展，對后一水平的理解是在前一水平基礎(chǔ)之上的，不同水平具有本質(zhì)上的差異，體現(xiàn)出相應(yīng)年齡階段學(xué)生對該知識理解的普遍特征和規(guī)律。

5.統(tǒng)計量學(xué)習(xí)進階的精確建構(gòu)

關(guān)于統(tǒng)計量學(xué)習(xí)進階的精確建構(gòu)還需要通過很多深入的實證探討才能加以完善，要進行訪談?wù){(diào)查以及大量的評量施測，把學(xué)生的預(yù)期表現(xiàn)與實際表現(xiàn)進行比較，進一步修改初步建立的假設(shè)性學(xué)習(xí)進階。學(xué)習(xí)進階的建構(gòu)正是這樣一個假設(shè)與驗證、理論與實踐不斷交替、逐步完善的過程。

三、學(xué)習(xí)進階在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的思考

學(xué)習(xí)進階在西方科學(xué)教育領(lǐng)域已成為一個研究熱點，并且在物理、化學(xué)、生物等學(xué)科中已取得一些成就，而關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進階的研究起點稍晚。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進階的研究、應(yīng)用與實踐也應(yīng)該得到重視，我們應(yīng)該認識到學(xué)習(xí)進階在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價值。

1.學(xué)習(xí)進階對于課堂教學(xué)具有指導(dǎo)作用

教師可以圍繞核心概念展開教學(xué)，建構(gòu)核心概念的學(xué)習(xí)進階能為學(xué)生提供掌握核心概念的學(xué)習(xí)路徑，通過掌握進階維度所涉及的更廣闊的核心概念逐步理解數(shù)學(xué)學(xué)科的基本知識框架。學(xué)習(xí)進階中的進階水平及相應(yīng)的學(xué)生學(xué)業(yè)表現(xiàn)清晰地描述了學(xué)生知識發(fā)展的一般性路徑，能使教師通過學(xué)習(xí)進階預(yù)測學(xué)生的前進方向，判斷學(xué)生目前所處的具體位置，以便為學(xué)生學(xué)習(xí)知識建立切實可行的行動指南。學(xué)習(xí)進階中的水平層次往往代表學(xué)生在理解概念時容易出現(xiàn)錯誤理解的地方，教師可以根據(jù)學(xué)習(xí)進階來關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)難點，以便選擇合適的教學(xué)方法幫助學(xué)生更順利地到達更高的概念理解水平。例如，當給出三組數(shù)據(jù)：A：9、7、6、9、9、10、8、8、7、10；B：6、10、9、8、9、10、6、8、10、10；C：10、7、9、10、7、8、10、9、10、10，告訴學(xué)生三組數(shù)據(jù)的“平均水平”都是9，讓學(xué)生判斷三組數(shù)據(jù)分別運用了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)中的哪一種“平均水平”，如果學(xué)生判斷出錯，說明還沒到達統(tǒng)計量學(xué)習(xí)進階中的水平3，這時教師應(yīng)該采取適當?shù)慕虒W(xué)策略幫助學(xué)生順利到達水平3。

2.學(xué)習(xí)進階有助于完善課程標準及教材的編訂

數(shù)學(xué)課程標準需要不斷改革以符合學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律，而現(xiàn)有的數(shù)學(xué)教育研究在支撐數(shù)學(xué)課程標準改革的某些方面還有待改善。美國提出研究學(xué)習(xí)進階的目的也正是為了改變以往“廣而不深”的課程體系而制定新的課程標準。我國的基礎(chǔ)教育沒有將課程作為一個整體設(shè)計，沒有統(tǒng)一的課程標準，而是分為義務(wù)教育階段和高中階段。我國不同學(xué)習(xí)階段的學(xué)科課程也是分別設(shè)計的，小學(xué)和初中之間、初中和高中之間缺乏內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，導(dǎo)致教學(xué)實踐中出現(xiàn)大量脫節(jié)現(xiàn)象[4]。在我國，可以看到許多初中數(shù)學(xué)學(xué)得好的學(xué)生在上高中之后，數(shù)學(xué)成績下降很多，這與教材知識缺乏連貫性有關(guān)。學(xué)習(xí)進階理論的研究基于大量的實證探討，能代表學(xué)生真實的學(xué)業(yè)水平表現(xiàn)，對出現(xiàn)在不同年級的同一個核心概念進行整合使進階水平更具有連貫性，對于課程標準的改革及教材的重新修訂具有指導(dǎo)意義。

3.學(xué)習(xí)進階有利于改善學(xué)生學(xué)業(yè)成就的評價

我國對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就的評價方式基本是通過考試，很難了解到學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，即評價方式是終結(jié)性評價而不是形成性評價。這樣只能判斷學(xué)生達到學(xué)習(xí)目標與否，很難對學(xué)生的思維過程進行評價。通過比較學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)與學(xué)習(xí)進階中的進階水平，可以很清楚地了解學(xué)生處在起點與最終要到達的目標之間的哪個位置，追蹤學(xué)生的核心概念發(fā)展水平，則可以評價學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，實現(xiàn)形成性評價。

參考文獻

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[作者：王靜（1991-），女，江西宜春人，華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院在讀碩士研究生；胡典順（1965-），男，湖北孝感人，華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院教授，博士。]

【責(zé)任編輯 郭振玲】