均勻圓陣互耦系數PSO求解方法

王石泉 張偉豐 劉楊

摘 要：論文提出一種均勻圓陣中基于粒子群算法的互耦系數求解方法，解決高分辨率測向算法由于受陣列互耦誤差 的影響而性能下降甚至失效的問題。該方法通過設置一個方位精確已知的校正源，基于均勻圓陣互耦矩陣的對稱Toeplitz性和子空間原理建立目標函數，利用粒子群算法運算簡單尋優能力強的優勢，估計得到各陣元之間的互耦系數，獲取互耦誤差矩陣。計算機仿真實驗結果表明，利用該方法所得到的互耦矩陣對MUSIC算法進行補償后，算法性能良好，接近不考慮互耦誤差時的性能，顯示了該方法的實用性和有效性。

關鍵詞：粒子群算法；互耦系數；均勻圓陣；MUSIC算法；

1 引言

該理想模型中需假設天線各陣元之間不存在互耦誤差，而在實際情況中，由于各陣元之間通過空間電磁場的相互作用與影響而發生電磁耦合現象，特別是當陣元間距較小時，耦合作用表現會很強烈，因此互耦是陣列天線的固有特性。研究和仿真實驗表明，互耦誤差會導致高分辨率測向算法性能下降甚至失效。

為解決互耦誤差的影響，國內外學者對互耦誤差的校正進行了大量研究，得出了許多校正算法，主要可分為兩類：一是先對互耦進行電磁測量或者通過矩量法對互耦進行電磁計算。另一類是將互耦校正問題轉化為參數估計問題，主要分為有源校正方法和自校正方法，與自校正算法相比，有源校正算法計算量小，無需對信號源方位進行估計，可以避免高維、多模非線性優化，因此實際工程應用較多。

2 均勻圓陣互耦誤差模型及對測向算法的影響

2.1均勻圓陣互耦誤差模型

均勻圓陣（Uniform Circle Array， UCA）具有全方位測向能力、測向精度隨方位角的變化不明顯和具有互耦對稱等優勢，因此是無線電測向中應用最廣的陣列天線。如圖1所示為M元均勻圓陣示意圖。

考慮N個遠場，互不相關的的窄帶信號入射到空間該均勻圓陣上，其中入射信號的波長為λ，不失一般性，僅考慮水平面來波方向，設入射波來向為θk，k=1，2…N。在不考慮陣元間互耦誤差的情況下，可知陣列接收信號可表示為：

上式中X（t）為陣列各陣元接收數據，A（θ）為M×N維陣列流型矢量且A（θ）=[a（θ1）， a（θ2），…，a（θM）]，S（t）=[s1（t），s2（t），…，sN（t）]T為N×1維入射信號，N（t）= [n1（t），n2（t），…，nN（t）]T為N×1維噪聲矢量。

當考慮存在陣元互耦效應時，陣列的導向矢量可以修正為：

相應的，陣列流型矩陣可以表示為：

則陣列接收數據可以表示為：

其中矩陣Z為反映陣元互耦效應的互耦矩陣。

2.2 互耦誤差對測向算法的影響

以子空間算法（MUSIC算法）為例，在考慮互耦誤差的情況下，利用陣列信號處理技術將陣列輸出的協方差矩陣定義為：

其中RS為信號協方差矩陣，I為單位矩陣，σ2為相互獨立的零均值平穩高斯白噪聲的平均功率，且其與信號源之間互不相關?？紤]到實際接收數據矩陣是有限長的，設實際接收的快拍數為L，則數據協方差矩陣的最大似然估計可以表示為：

對上式進行特征分解，得到由對應于N個大特征值對應的特征向量所構成的信號子空間Es和其余M-N個特征向量所構成的噪聲子空間EN，根據子空間基本原理即噪聲子空間與理想導向矢量的正交性，可將MUSIC譜搜索函數。

3 基于粒子群算法的解決方案

由2.2節分析可知要實現互耦誤差的校正，其實質是需要得到互耦矩陣Z。本節基于均勻圓陣的對稱Toeplitz性和子空間原理建立目標函數，利用粒子群算法解決互耦向量的求解問題。

3.1均勻圓陣互耦矩陣化簡

通常情況下，數組元素和數組元素之間的相互耦合是成反比的，基于互惠定理，互耦矩陣是一個對稱矩陣。均勻圓陣，一三波段循環矩陣。以5元均勻圓陣為例，假設只存在陣元互耦誤差，則互耦矩陣可以表示為：

這是一個復對稱循環矩陣，可以完全由其第一行前3個元素z=[c0 c1 c2]來確定。（有計算公式，當陣元個數M為偶數時，L=M/2；當M為基數時，L=（M+1）/2，當M=5時，L=3）

關于復對稱循環矩陣有如下定理：

其中α為任一5×1維復列向量，c為3×1維復列向量。T（α）是由向量α確定的5×3階矩陣，它是以下四個矩陣的和，即有：

式中Ti（α），（i=1，2，3，4）由下式確定：

通過（10）式可以將互耦矩陣Z表示為向量z（本文稱之為互耦向量）的形式。利用互耦向量，基于子空間原理，可以將空間譜搜索函數重新構造如下：

3.2 基于PSO的互耦向量求解

如圖1中虛線框所示，一個范圍在遠場精確已知的（假設樓梯0）。根據（6）首先接收陣列協方差的信號，得到的協方差矩陣R=E[x互耦誤差（T）x（t）]和M的特征值的特征分解：λ1λ等于或大于2。

μm為空間特征向量，由于只有一個校正源，我們知道最大的特征值λ1對應的特征向量u1是信號子空間，其余m-1的特征向量組成的矩陣的噪聲子空間，如下式所示：

由于來波方位θ已知，則求解互耦向量的問題就轉化為對適應度函數（12）式的最優化問題，即：

粒子群優化算法是基于群體智能進化的計算技術，是一種基于迭代優化工具與遺傳算法相比，它與無需編碼、選擇、變異等復雜操作，操作簡單、搜索能力強的一組隨機解，是一個并行迭代搜索過程，通過迭代尋找最優值。

其速度和位置迭代更新公式如下：

式中w是慣性權因子，C1和C2是學習的因素，0和1之間的均勻分布的隨機數R1和R2，D是尺寸為優化問題，PI，J粒子本身找到最優解，PG，H是找到最佳的解決方案的全部人口。通過不斷地更新粒子的位置和速度，得到問題的最優解。

3.3算法步驟

至此可以給出本文算法步驟如下：

步驟1：設計學校正源信號，假設一個已知的窄帶遠場則入射信號入射角圖1顯示均勻圓陣，設置相應的信號噪聲比。

步驟2：根據（3）接收到的信號處理，得到的協方差矩陣，并將其分解為得到噪聲子空間的特征。

步驟3：設計粒子群優化算法的各種參數。該算法利用基本粒子群算法，學習因子C1=C2=1，慣性權重系數w=0.729，粒子的初始種群數量的模擬設置為30，迭代次數設置為300，使用（14）為適應度函數。

步驟4：使用粒子群優化算法尋找最優，直到目標函數收斂或達到指定數目的迭代次數，搜索停止時，粒子的最終輸出找到最佳位置得到的估計值的互耦向量。

步驟5：構造互耦矩陣，并對MUSIC譜搜索函數進行互耦補償，完成陣元互耦誤差的校正。

4 結束語

本文提出一種均勻圓陣中基于粒子群算法的互耦系數求解方法。該方法利用一個方位已知的校正源，基于均勻圓陣互耦矩陣的對稱Toeplitz性和子空間原理建立目標函數，然后利用粒子群算法對目標函數進行尋優，估計得到陣元互耦向量，進而構造互耦誤差矩陣實現對MUSIC算法的互耦補償。計算機仿真結果表明，經過該算法校正過的MUSIC算法的性能良好，可以準確估計出來波方位，從而顯示了該方法的實用性和有效性。

參考文獻

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