巧妙破譯“探索規律”的教學“密碼”

趙國防??

“探索規律”，作為新課程進一步強化和突出的重要內容，越來越受到廣大教師的普遍關注。加強和重視“探索規律”的教學，不僅可以進一步激發學生數學學習的興趣，優化學習方式，而且對于加深他們對數學知識的理解與認識，促進思維能力逐步提升等方面均有著重要而積極的作用。《義務教育數學課程標準》（2011年版）對第二學段“探索規律”內容的要求是“探索給定情境中隱含的規律或變化的趨勢”。面對“隱含的規律”和“變化的趨勢”，一線教師常常很難把握“規律教學”的“要義”和“火候”，要么蜻蜓點水，讓規律“走過場”，要么過分強調，讓規律“陷僵局”。

臺灣著名數學教師林心怡執教的《釘子板上的多邊形》一課，簡約深刻，自由開放，妙趣橫生，以一種新的視角為我們精巧破譯了“探索規律”教學的行進“密碼”，令人回味無窮。

一、重視過程：讓“規律”探索自然行進

“探索規律”的教學，自然是以“規律”探索的過程為基本立足點和出發點。精心設計探索活動，引領學生在具體情境中充分經歷規律的探索與發現過程，無疑便成為“探索規律”的關鍵性一步。

1.整體感知，猜測規律

“規律”的得來，離不開對大量、豐富素材與數據的分析與研究。課始，林老師簡要揭示了“周點”“面積”“內點”之后，便以周點為8，面積為4，內點為1的長方形為例，進行了巧妙變化——“如果面積改變，內點、周點的數量會不會改變？”“如果面積變回4，內點、周點會變回來嗎？”一邊追問，一邊結合著釘子板上直觀的圖形及對應的數據進行對比、觀察、分析。這一過程，我認為用意有三：一是讓學生整體感知“內點”“周點”和“面積”三個變量之間的緊密關系，為接下來的深入探索提供了思維模型；二是讓學生感受到所要研究問題的復雜性，為接下來的分類研究創造機會；三是喚起探究欲望，激發探究興趣。

2.分步研究，探索規律

面對復雜的問題，既要有整體思想，全面認識，更要有分步研究、層層深入的意識和能力。林老師讓學生感受到了問題研究的復雜性之后，便巧妙破解難題，分步推進。“我們先來討論周點改變，會不會影響面積？”引導學生圍繞內點為1，探討周點和面積之間的關系。此過程，學生四人為一組，每組至少在練習紙上畫了三個多邊形，并進行了數據記錄和分析，各個小組均順利得到了：S=n÷2。然后，教師進一步提出新的問題：“如果內點為2，它們又會有怎樣的關系呢？”學生又以兩人為一小組進行了探究。整個探究過程，教師高度放手，從研究素材的生成，到研究數據的觀察與分析，再到研究結論的總結與表達，全部由學生來獨立完成，科學有序，民主高效。

3.及時對比，總結規律

規律探索，離不開對大量素材和數據的研究與分析。在研究與分析的過程中，有一重要的方法，那便是對比。通過對比，便于尋找異同，發現規律，深刻認識。在林老師的課上，她多次引導學生對數據和得到的結論進行對比分析，不斷將規律認識引向深入。特別是每組匯報時，林老師都在黑板上記錄下他們總結的關系式，無形間既默默強化了規律，又讓學生在對比中感受到了研究者不同、研究素材不同、研究過程和表達方式不同，但卻得到了相同的“規律”。在變與不變中感受“規律”的必然性，通用性，體會到了數學研究的無窮魅力。

4.充分驗證，強化規律

任何研究結論，都要在充分驗證之后才會被進一步認可，特別是運用不完全歸納法得到的“規律”，更需要引導學生充分驗證。林老師在放手讓學生分別探索了內點為1、內點為2多邊形面積與周點的關系之后，引導學生對所得到的結論進行了及時驗證。這樣一來，既讓學生對所發現的“規律”有了進一步的認識與理解，又讓學生經歷了完整的科學探究之旅，培養了學生科學、嚴謹的研究態度和研究精神。

二、關注方法：讓“規律”探索科學有序

“探索規律”的教學，是以規律探索為素材，引導學生運用科學的方法，經歷探索過程，感受探索樂趣，積累探索經驗的活動。在這樣的過程中，離不開科學、有效的研究方法。研究方法的發現、總結與運用，自然也成為了“探索活動”教學的重任之一。

1.過程中自悟

好多有效的研究方法，都是研究者在研究過程中自然而然發現并總結出來的。學生的探索活動，也必然會生成和積累一些有價值的研究方法，教師在此過程中要充分關注并為其積極創造條件。林老師在課中，多次適時引導學生發現并總結方法。當學生探索完內點為1的多邊形周點和面積之間的關系后，林老師及時追問：“大家覺得哪一組的記錄比較容易發現規律？”此語，問得妙！一箭雙雕！她既是在引發比較，又是在引出一種有效解決問題的策略——列表。這一過程，喚起了學生對研究方法的關注，更在培養學生一種善于觀察、勤于反思、重視方法的意識與能力。

2.互助中共悟

真正有意義的合作學習，不應僅僅是學習團隊對知識的習得，而是還應在發現的過程中善于及時反思，總結經驗，修正方法。在林老師的課上，她為學生創造了多次合作學習的機會，從4人合作探索內點為1的多邊形周點和面積之間的關系，到2人合作探索內點為2的多邊形周點和面積之間的關系，再到全班合作驗證結論。在合作中，教師適時以問題引領學生進行方法總結與梳理，不斷讓學生在規律總結的過程中感悟方法，積累經驗。

3.必要時點撥

兒童由于年齡小，研究經驗不足，因此，一些必要的研究方法有時需要教師及時予以點撥。林老師在學生的研究過程中，結合研究進程，及時對研究方法進行了歸納與總結。不管是“列表找規律”“用字母表示關系式”還是“假設—驗證”等，都在適當時機，對學生的研究方法及時予以點撥、歸納，讓學生在規律探索的過程中，不斷關注方法、重視方法、完善方法。這樣，讓規律教學不再是僅僅為了得到規律的教學，而是讓其承載了更多育人功能，很好地滲透了研究精神與研究方法的培養。

三、訓練思維：讓“規律”探索超越規律

語文教學，常以“明線”和“暗線”兩種視角進行課文分析。我認為，數學教學同樣也存在這樣兩條線索，即學習活動的行進過程為“明線”，思維訓練的巧妙滲透為“暗線”。本課中，思維訓練雖不是“探索規律”的基本環節和主要任務，但它卻作為貫穿整個活動的“暗線”一直存在。在林老師的教學中，她結合探索進程，及時巧妙地予以了關注和滲透，讓規律探索超越了“規律”。

1.歸納與類比

林老師的課中，4人合作探索內點為1的多邊形周點和面積之間的關系，2人合作探索內點為2的多邊形周點和面積之間的關系，這兩個環節，都是先研究實例，得出數據，再在數據中提取規律，思維方式是歸納推理。到了內點為0、3、4、5……多邊形周點和面積之間的關系的探索過程，卻是先猜想多邊形面積與周點數量之間的關系，再分組用實例驗證是不是存在這樣的規律，思維方式是類比推理。兩種推理方式的運用，既確保了順利、及時得到結論，又巧妙訓練了學生的思維。

2.比較與分類

比較是確定兩個或兩個以上的對象或同一個對象在不同時間條件下的相同與不同點的思維方法。本課中，教師多次引導學生進行比較，在比較中發現規律。從周點相同（都為8）時，兩個圖形面積和內點數量的比較，到學生記錄數據方式的比較；從發現內點為2的多邊形周點和面積之間的關系時“為什么畫出的圖不一樣，得到的關系式卻都是一樣”的比較，到最后分排驗證規律后的整體比較，等等，時時引導學生在比較中發現規律，加深認識，訓練思維。課始，引導學生感受“內點”“周點”和“面積”三個變量時，由于變量多，關系復雜，不便于研究，教師及時對研究對象進行了分類（內點為1時多邊形周點和面積之間的關系，內點為2時多邊形周點和面積之間的關系，內點為3、4、5……時多邊形周點和面積之間的關系），既確保了研究活動的順利有序進行，又滲透了分類思想。

3.抽象與概括

抽象就是在認識事物中，抽取其共同的、本質屬性或特征，舍棄其非本質屬性或特征的思維方法。概括則是將抽象出來的同類事物的共同屬性連結起來，并把它推廣到同一類事物上去的思維方法。林老師的課中，每一個探索活動之后，“作業紙”上都有學生記錄關系式的空格，實際上就是在引導學生對發現的規律先進行抽象，然后用數學語言（數據或模型）進行概括表達。幾次探索活動，幾次抽象與概括，學生的抽象與概括能力得到了提升。

四、一點商榷

筆者以為，“舉例驗證”環節雖然涉及了，但來得有些遲。如果在發現內點為1的多邊形周點和面積之間的關系（即S=n÷2）之后，接著引導學生進行舉例驗證，那樣效果將會更好。理由有三，一是讓學生明白“舉例驗證”是探索規律的重要環節之一，必不可少；二是讓學生體會“探索活動”的完整性、科學性與嚴謹性；三是為后續的探內點為2、3、4、5……的多邊形周點和面積之間的關系積累經驗。一人之見，還請各位批評指正。