三質點構成的孤立系統的線性振動本征頻率和解析解

胡艷敏 胡雪蘭 馬龍 秦哲 張艷峰

摘 要：從最基本的質點運動規律出發在慣性參考系中建立三質點構成的孤立系統的微分方程，利用矩陣方法求解系統微振動問題并進行分析和討論，從而得到系統振動的本征頻率和解析解。

關鍵詞：三質點；振動本征頻率；解析解

中圖分類號：0213 文獻標識碼：A

多質點振動問題是理論力學中的一個基本問題，近年來一直被人們所關注和研究。在處理實際問題中除了采用適當的模型近似以合理簡化問題外，仍需利用一些近似計算方法，如微擾法、亞當斯（Adams）多步法等，這些近似方法均有其適用范圍和優缺點。給定系統參數和初始條件后，由于某些振動系統的運動方程比較復雜而一般找不到系統振動的特征頻率，進而得不到其解析解，系統振動的運動圖像也無法進行分析。對于多自由度力學系統的微振動問題，分析得到的方程均為線性微分方程，一般利用解析法可以得到方程的解析解，比較常見的是對單個或兩個質點的微振動系統求解。本文從基本的質點運動規律出發以孤立CO2分子為例來討論三質點構成的孤立系統的微振動問題，在慣性參考性中根據牛頓第二定律建立線性微分方程，利用矩陣方法具體詳細地求解系統振動的本征頻率和解析解。

考慮由三原子構成的孤立CO2分子的振動模型，可以簡化為勁度系數均為k，原長為l0的兩彈簧連接的三個質點，如圖1所示。

首先，我們來證明質心參考系是慣性參考系。

不考慮外力的情況下，由于原子與原子之間存在相互作用力，故由三個原子構成的該系統是贗孤立的。系統質心定義為：

在慣性參考系Rg中應用牛頓第二定律，我們有：

故為常數，即不隨時間變化，則有。

因此質心G在慣性參考系Rg中做勻速直線運動，質心參考系亦為慣性參考系。

下面我們來對每個質點進行受力分析，在中分別建立其偏離平衡位置的位移x1、x2和x3的微分方程。

對于左邊的O原子：

C原子：

右邊O原子 ：

在中應用牛頓第二定律，即

又其中Mie為每個原子振動的平衡位置。

由于Xie不隨時間變化，故有

把以上三個微分方程分別投影方向，得：

（1）

（2）

（3）

這是三個關于x1、x2和x3耦合的微分方程。

接下來我們來求解三質點構成的孤立系統的固有頻率。設系統的固有圓頻率為ωj，三位移xi（i=1，2，3）對應的一般解應有以下形式：

xi，j=Ai，jcos（ωjt+φi，j）

則

代入三個微分方程，有：

（-moωj2 +k）x1-kx2=0 （1）

-kx1+（-mcωj2 +2k）x2-kx3=0 （2）

-kx2+（-moωj2 +k）x3=0 （3）

該方程組有非零解的條件為當且僅當由其系數構成的下列行列式的值等于0，即：

則（-moωj2 +k）[（-moωj2 +k）（-mcωj2 +2k）-（-k）2]-（-k）[（-k）（-moωj2 +k）]=0

化簡后有ωj2 （-moωj2 +k）（momcωj2 - k（2mo+mc））=0

于是得到三個不同的特征頻率：ωj2 =0=>ωj=ω1=0

（-moωj2 +k）=0=>ωj=ω2=

momcωj2 -k（2mo+mc）=0=>ωj=ω3=

至此，我們得到了由三個質點構成的孤立系統進行線性微振動時存在的三個本征頻率。

那么在每個特征頻率下質點隨著時間的變化是如何運動的呢？在每個時刻的位移又是怎樣的呢？下面我們來分析不同本征頻率對應的解的情況。

（a）當ω=ω1=0時，xi，1=aj，1+bi，1t且x1，1=x2，1=x3，1

即a1，1=a2，1=a3，1=a1，b1，1=b2，1=b2，1=b1。由此我們得出在這種情況下三質點運動的相位一致。更確切地說，三質點同時做統一的、共同的運動，即做質心運動。

（b）當ω=ω2時，xi，j=Ai，2cos（ω2t+ φi，2）

從微分方程（1）、（2）和（3）構成的方程組來看，須有x1，2=-x3，2且x2，2=0。

于是A2，2=0，A1，2=A3，2=a2且φ1，2=φ2，φ3，2=φ2+π。我們說兩個O原子以ω=ω2的圓頻率沿相反的方向振動，而C原子不振動。

當ω=ω3時，xi，j=Ai，3cos（ω3t+φi，3），須有

即A1，3=A2，3=a3，且φ1，3=φ3，3=φ3，φ2，3=φ3+π。

由此可見，在相同的圓頻率ω=ω3下，兩邊質點做同相位的振動，即沿相同的方向運動，而中間的質點的相位則多出一個π，即與他們做相反方向的振動。

于是，系統振動的全解為：

x1=a1+b1t+a2cos（ω2t+φ2）+a3cos（ω3t+φ3）

x3=a1+b1t-a2cos（ω2t+φ2）+ a3cos（ω3t+φ3）

其中ai、bi、φi（i=1，2，3）為待定系數。

若給定初始條件：

xi（0）=xi0（i=1，2，3）et（i=1，2，3）

于是有：

于是我們可以得到系統的解析解：

綜上，我們以孤立的CO2分子為例分析得到了三質點構成的孤立系統的振動本征頻率，并在給定初始條件的情況下得到了系統的解析解。盡管我們簡化了模型，但我們僅從質點運動的基本規律出發，利用矩陣的方法分析得到了系統線性振動的本征頻率和解析解，在大學物理的教學中有一定的參考價值。

參考文獻

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