洛朗級數求積分問題在工程數學中的應用

王斌　李璇　馮明勇

【摘要】本文結合工程數學課程中利用洛朗級數求積分問題的實例，對學生在工程數學課程學習中容易混淆的求積分方法進行了分析、比較與歸納總結，并且對于本課程中洛朗級數與其他章節之間的聯系作了詳細闡述，以供參考和借鑒.

【關鍵詞】洛朗級數；高階導數公式；留數

1.工程數學中的洛朗級數

學習工程數學這門課程的最終目的是使學生能夠結合所學的理論，以實際情況為背景，對客觀現象進行深入分析，找出其存在的問題，并策劃出解決問題的方案.因此，教師在教學過程中應適當地將教材中的內容進行擴展，介紹一些工程數學理論在其他領域的應用實例，可以使學生在體會到該課程知識理論應用的同時，也提高了自身的實際應用能力.工程數學課程是各個高校工科專業的學生在具有了高等數學的基礎上，為了能夠用更加方便的理論工具來處理工程中常見的問題而開設的一門課程.

2.工程數學中的洛朗級數教學

不同高校所開設的工程數學課程的內容與課時根據其實際情況都有所不同，關于工程數學課程的教學內容或者方法的改革與探討較多，既有對于教學方法、教學策略的探討，也有關于具體數學工具及應用類的分析.筆者在長期的教學過程中發現很多同學由于受本課程的課時限制以及學習方法不當，對于本課程中計算復變函數沿著閉曲線積分問題的理解不夠深刻，各個章節之間的聯系認識不足，所以促使筆者產生了拋磚引玉的想法，對于如何利用洛朗級數求積分問題，本文進行了仔細梳理和分析.在工程數學課程的復變函數部分仔細介紹了利用洛朗級數展開式來計算沿閉曲線復變函數積分，隨后又介紹了利用留數方法（即洛朗級數展開式中負一次項系數C-1）來計算沿閉曲線復變函數記分，很多同學由于這兩部分內容前后相鄰并且都是需要計算C-1而混淆其不同之處.本文借助課后習題中的一個典型習題的多種解法，揭示上述兩種解法的不同點以及常見的四種解法的優劣之處，以供參考和借鑒.

雖然工程數學的內容抽象，概念定理多，計算較繁瑣，但這些都是實際生活中一些問題的抽象，它來源于生活又應用于生活.如果在教學過程中能夠準確把握住課程內容與學生生活實際及所學專業的結合點，從知識的背景及生活、專業的實際問題出發設計出一些應用實例進行講解，可以使工程數學知識不再是抽象的理論，而是解決專業問題的有利數學工具，打破傳統的“算數學”模式，代之以用數學工具解決各種問題的“用數學”模式，增強學生對工程數學是一門工具學科的感性認識.主動向學生闡明學習該知識的目的及應用，使其能夠利用所學知識去思考問題、解決問題，從而產生學習的內在動力.數學學習的最終目的是運用，加強應用能力的培養不僅是數學本身發展的需要，也是提高學生數學素質的重要途徑.在工程數學教學中恰當地運用應用實例正是加強學生應用能力培養的手段，具有可行性.

3.工程數學中的典型例題求解

解法1 利用洛朗級數展開式，首先構造解析同心圓環形區域：1<|z|<+∞（C 包含于上述圓環形區域內部，且有相同圓心），雖然滿足洛朗級數展開條件的圓環形區域是不唯一的，包括圓心及半徑都可以不同，但是為了計算方便，我們經常選取同心圓環.被積函數在上述圓環內的洛朗級數展開式可依據下式計算得出：

綜合比較上述四種解法，各有其優缺點.由于洛朗級數展開的方法變化較多，某些函數甚至無法用常用方法展開，所以解法1有一定局限性.表面上看起來解法2最簡潔，但實際上能夠利用柯西公式和高階導數解決的積分只占很少的一部分，因為滿足柯西公式和高階導數的被積函數類型是有非常強的限制條件的.

4.結 論

因此，同學們在求解沿閉曲線復變函數的積分時應該仔細分析被積函數和積分曲線的特征，根據具體題目靈活選擇合適的求解方法.就筆者看來，在工程數學課程中計算沿著閉曲線的復變函數積分時大家也應該很好的掌握與留數有關的解法，因為留數的計算不僅在復變函數部分很重要，而且在工程數學課程的最后與工程技術應用緊密相關的Laplace變換部分，很多Laplace逆變換的計算也是通過留數計算得出的.總而言之，洛朗級數展開方法并不僅僅是工程數學課程中一個相對獨立的部分，對于洛朗級數展開的詳細分析不但有助于我們分析理解復變函數奇點的分類，還有助于我們計算不同類型奇點的留數，進而可用來求Laplace逆變換等.相信通過本文對于上述兩種解法優缺點的詳細分析與比較，一定能夠幫助讀者們進一步理解工程數學中洛朗級數展開方法在求解沿閉曲線積分計算中所起到的重要作用.