構造一元函數證明二元不等式的幾種常用方法

徐建新

近幾年，利用導數研究函數的單調性、極值和最值，再由單調性證明不等式或比較大小是函數、導數、不等式綜合中的一個難點，也是高考的熱點之一，尤其是二元不等式的證明，很多學生感覺無從下手.其實，用導數解決一元不等式問題是常見題型，如果能根據二元不等式的結構特征構造一個可導的一元函數，再利用導數研究函數的單調性，就可以解決二元不等式的問題.本文針對二元不等式的證明或比較大小介紹幾種常見的構造一元函數的方法.

利用導數證明不等式的關鍵在于如何適當的變形，將不等式證明或比較大小的問題轉化為函數單調性的證明問題，本文中二元不等式的問題，首先變換成某一個一元函數，再通過求導判斷該函數的單調性，就可以解決這類二元不等式的證明或比較大小的問題.如何構造輔助函數是這種通法運用的難點和關鍵，因其思維跨度大、構造性強，充滿思考性和挑戰性，需要有較高的數學能力，能全面綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材.通過對這類數學方法的學習，能更好地培養學生分析問題、解決問題的能力，使學生的數學思維水平更上一臺階.