2015年數學高考“函數與導數”專題研究

林毓琴

【摘要】函數是高中數學的主干知識，常與導數相結合，構成形式多樣的題目，在高考中占有重要的地位.

【關鍵詞】函數；導數；高考

函數是高中數學的知識主干，亦是數學高考考查的重點，貫穿于整個高中數學教學的全過程.而函數問題在考查更多的是與導數相結合，從而發揮導數工具的作用.近年來，高考試題，函數與導數知識占有極其重要的地位，不僅形式多樣，而且知識點覆蓋廣.筆者針對2015年高考數學的“函數與導數”的試題進行分析，希望能給讀者一些啟示.

高中新課程高考大綱對函數與導數的考查內容及要求文、理科大同小異，理科區別于文科主要體現在兩個方面：理科要求“能求簡單地復合函數（僅限于形如f（ax+b）的函數）的導數”、“了解定積分與微積分的基本定理”，體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性.因此，理科要求高于文科.

對于“函數與導數”這類題目高考的命題特點有：

一、考查題型和內容穩定

筆者通過整理課本和高考題目，發現“函數與導數”的問題出現的類型是比其他考點要穩定的.較常出現的基本題目類型可以歸納為以下四種：

1.用導數求切線（求曲線上一點處的切線方程；求過一點的曲線的切線方程）.

2.用導數求函數的單調區間.

3.用導數求函數的極值.

4.用導數求函數的最大（小）值.

在高考中，“函數與導數”問題較常出現的考試類型有以下六種：單調性問題、零點問題、極值點問題、恒成立問題、帶量詞的命題問題、證明不等式成立.

例1 （重慶卷·理20）設函數f（x）=3x2+axexa∈R.

（1）若f（x）在x=0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）若f（x）在[3，+∞）上為減函數，求a的取值范圍；

答案 （1）a=0，切線方程為3x-ey=0；（2）-92，+∞.

解析 此題屬基本類型：本題考查求復合函數的導數，導數與函數的關系.

考點為復合函數的導數，函數的極值，切線，單調性.

二、突出對核心概念和主干知識的考查

函數的主要內容包括4個方面：

1.函數的基本概念的考查，即函數的定義域、值域、對應法則；函數的三種表示方法；函數的圖像；

2.函數的基本性質的考查，即函數的單調性、奇偶性、最大（小）值、周期性；

3.基本初等函數的考查，即指數函數、對數函數、冪函數；

4.函數的零點的考查.

研究2015年高考試卷，可以發現，在選擇題、填空題等小題里，主要就在這4個方面進行重點考查，有些小題還會綜合考查到其中的2～3個知識點.

下面列舉一道今年的高考題對此加以說明.

例2 （福建卷·理2）下列函數為奇函數的是（ ）.

評析 根據函數的性質及應用中，函數奇偶性的判斷，基本函數：余弦函數奇偶性的判斷.由奇函數的定義f（-x）=-f（x）逐一進行檢驗得知選D.判斷函數的奇偶性關鍵要以定義域為前提，在滿足定義域關于原點對稱的前提下，再利用函數奇偶性的定義進行判斷.

三、在知識交會處命題考查學生的綜合能力

在《2015年高考考試說明》中寫道，數學學科命題要從學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網絡交會點設計試題，使對數學基礎知識的考查達到必要的深度.根據這一要求，2015年的數學試題即注重了各個知識點內的縱向考查，又注重了不同知識點之間的相互交會，并且對原有的知識網絡交會點進行了自然、適當的拓寬和延伸，這點在函數與導數的考查上尤為明顯.

圖 1例3 （福建卷·理13）如圖1，點A的坐標為（1，0），點C的坐標為（2，4），函數f（x）=x2，若在矩形ABCD內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于.

答案 512.

評析 此題在概率和定積分的交會點處命題.考查了定積分求曲邊梯形的面積以及集合概型的運用，關鍵是求出陰影部分的面積，利用集合概型公式解答.

幾何概型是高考考察的重要知識點，通過分析利用積分就容易解決.實際中常涉及與幾何概型有關的數學問題，如何把數學問題轉化為幾何概型中的數學模型，是解決這類問題的關鍵.

四、強調對“數形結合”“分類討論”的數學思想的考查

評析 此題著重對“數形結合”的思想的考查.根據函數圖像的信息，結合函數的定義域，函數零點以及f（0）的符號是解決本題的關鍵.