烤箱中的烤盤熱量分布問題的研究

鄭錦龍

【摘要】本文主要研究了烤箱中烤盤的受熱分布問題，利用傅里葉熱傳導(dǎo)方程，說明對不同形狀的烤盤，其受熱分布不同.

【關(guān)鍵詞】烤盤；傅立葉熱傳導(dǎo)方程模型；受熱分布

一、引 言

當(dāng)在烤箱中烘烤一個矩形的烤盤時，熱量主要集中在烤盤的4個角落中.因此，在角落處的食物容易烤過了.當(dāng)用一個圓形烤盤時，熱量均勻地分布在整個盤子內(nèi)部及其邊緣處，所以，食物不易被烤過了.然而，大多數(shù)烤箱使用的烤盤形狀是矩形的，其效率不是很高.為了提高烤盤的效率，在給定的假設(shè)下，本文

解決了不同形狀的盤子其外部邊緣的熱量分布不同的問題.

二、傅里葉熱傳導(dǎo)方程模型

傅里葉熱傳導(dǎo)方程模型能夠解決大多數(shù)的熱傳導(dǎo)問題.如果我們在實際問題中考慮的介質(zhì)是局部空間，而不是一個完整的空間，為了得到所建立方程的精確解，需要指定u的邊界條件.

1.模型的建立

在現(xiàn)實世界中，有很多與時間、熱量相關(guān)的物理現(xiàn)象可以通過熱傳導(dǎo)模型進行模擬.該方法反映的是熱量從高溫點處向低溫點處傳播的一個過程.

本文中，考慮烤箱中的烤盤熱量分布問題時，采用同時向各個方向傳熱的熱傳導(dǎo)方程.對于形狀是圓形的烤盤，本文在建立數(shù)學(xué)模型時還考慮到了它的Dirichlet邊界條件：

并使用MATLAB求解了這一模型，獲得理想的結(jié)果.首先，列出不同形狀的烤盤的熱量分布，如矩形烤盤方案（圖1），圓形烤盤方案（圖2），以及圓角矩形烤盤方案（圖3）和橢圓烤盤方案（圖4）.這些圖片表明，不同烘烤方案中的外部的溫度（接近圓角和邊緣）比內(nèi)部的高.

根據(jù)上述四種不同形狀的烤盤的熱量分布圖，可以得出結(jié)論，烤盤的形狀越接近于圓形，熱分布越均勻.在烤盤面積一定的情況下，圓形，橢圓形和圓角矩形，矩形的烤盤熱量分布的均勻程度依次減小.此外，圓角矩形的熱量均勻分布程度與圓心角成正比.

2.模型的分析

對于該問題，本文首先通過找出不同形狀的烤盤的外接圓，再以此圓心畫圓，假設(shè)當(dāng)?shù)诙蔚玫降膱A的半徑r與外接圓半徑R之比為0.9時，烤盤去除角落部分后熱量分布均勻.其次，通過計算機進行仿真，并利用MATLAB軟件的畫圖功能畫出了不同形狀的盤子的邊緣受熱分布圖，發(fā)現(xiàn)其大致規(guī)律均為各個角落處溫度較高，盤子形狀越接近圓形其受熱越均勻.

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