基于Mathematica軟件的導(dǎo)數(shù)多元化應(yīng)用分析與研究

姜舜怡　王東生

【摘要】本文從導(dǎo)數(shù)概念的背景，展現(xiàn)概念的發(fā)生過程，選取了與生活實(shí)際密切相關(guān)的，現(xiàn)實(shí)中比較常見的素材，例如，旅游經(jīng)濟(jì)的發(fā)展規(guī)劃，國內(nèi)市場的彈性分析、建筑學(xué)空間的最優(yōu)化設(shè)計、資源利用的可持續(xù)性、汽油的使用率、產(chǎn)品結(jié)構(gòu)對公司利潤的影響等，通過這些素材人們可以了解到導(dǎo)數(shù)在不同方面的應(yīng)用，了解如何通過導(dǎo)數(shù)建立這些問題的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用Mathematica工具解決生活中的優(yōu)化問題，從而感受導(dǎo)數(shù)與科技、社會以及生活的緊密聯(lián)系.

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；Mathematica；多元化應(yīng)用

【基金項目】北京電子科技職業(yè)學(xué)院社科類基金項目（YYR2015010）

數(shù)學(xué)作為一門重要的基礎(chǔ)學(xué)科和一種精確的科學(xué)語言，是人類文明的一個重要組成部分.自然科學(xué)中幾乎所有的重大發(fā)現(xiàn)無不依賴于數(shù)學(xué)的發(fā)展與進(jìn)步，在社會各領(lǐng)域中發(fā)揮著愈來愈重要的作用，高科技的出現(xiàn)使得數(shù)學(xué)與工程技術(shù)之間在更廣闊的范圍內(nèi)有著更深的結(jié)合.導(dǎo)數(shù)是解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的有力工具，它的綜合應(yīng)用是多方面的，在物理學(xué)、幾何學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中表現(xiàn)得非常活躍，如運(yùn)動物體的瞬時速度和加速度、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際和彈性等相關(guān)概念.數(shù)學(xué)軟件是專門用來進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)規(guī)劃、統(tǒng)計運(yùn)算、工程運(yùn)算、繪制數(shù)學(xué)圖形或制作數(shù)學(xué)動畫的軟件.Mathematica是由美國科學(xué)家斯蒂芬·沃爾夫勒姆領(lǐng)導(dǎo)的沃爾夫勒姆研究公司開發(fā)的一款廣泛使用的計算軟件.它擁有強(qiáng)大的數(shù)值計算和符號運(yùn)算能力，是目前為止使用最廣泛的數(shù)學(xué)軟件之一.

本文以Mathematica為計算平臺，引導(dǎo)讀者通過軟件的微分運(yùn)算、數(shù)學(xué)規(guī)劃、統(tǒng)計運(yùn)算功能，為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域中所提出的涉及導(dǎo)數(shù)方面的數(shù)學(xué)問題提供求解手段，從而更好地理解和完成問題的數(shù)學(xué)建模過程.

全導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)等在數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)中是一些最基本的手段，它研究在滿足一系列約束之下能夠獲得極值的條件.經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本任務(wù)也正是在遵守資源約束、生產(chǎn)技術(shù)約束的條件下，求得消費(fèi)者使用價值的極大化.

2.與物理學(xué)有關(guān)的最值問題

例如，統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為y=1128000x3-380x+8（0

（Ⅰ）當(dāng)汽車以40 km/h的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？

（Ⅱ）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

經(jīng)典導(dǎo)數(shù)定義可以認(rèn)為是反映局部歐氏空間的函數(shù)變化.為了研究更一般的流形上的向量叢截面（比如切向量場）的變化，導(dǎo)數(shù)的概念被推廣為所謂的“聯(lián)絡(luò)”.有了聯(lián)絡(luò)，人們就可以研究大范圍的幾何問題，這是微分幾何與物理中最重要的基礎(chǔ)概念之一.

3.與幾何有關(guān)的最值問題

例如，把邊長為30 cm的正方形鐵皮的四角各切去面積相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底的鐵皮箱，箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？

例如，某種圓柱形易拉罐的容積為V，如何確定它的高與底半徑，才能使它的用料最省？

例如，請設(shè)計一個帳篷.它下部的形狀是高為1 m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3 m的正六棱錐.試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？

導(dǎo)數(shù)的知識和方法在數(shù)學(xué)的許多問題上能起到以簡馭繁的作用，尤其體現(xiàn)在判定函數(shù)相關(guān)性質(zhì)、曲線的切線、研究函數(shù)的變化形態(tài)及函數(shù)作圖上.導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)中重要的基礎(chǔ)知識，是研究函數(shù)解析性質(zhì)的重要手段，在求函數(shù)的極值、最值方面起著“鑰匙”的作用.

四、小 結(jié)

微積分的思想來源于實(shí)踐，反過來又服務(wù)于實(shí)踐.本文選用了大量不同方面的例子，旨在突出和強(qiáng)調(diào)它們在數(shù)學(xué)內(nèi)部和外部的應(yīng)用.物理學(xué)、幾何學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中的一些重要概念都可以用導(dǎo)數(shù)來表示.如，導(dǎo)數(shù)可以表示運(yùn)動物體的瞬時速度和加速度、可以表示曲線在一點(diǎn)的斜率、還可以表示經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際和彈性.這些學(xué)科知識到數(shù)學(xué)其實(shí)就是一個建模抽象的過程，比如企業(yè)的短期生產(chǎn)函數(shù)（TP，MP，AP等）曲線，還包括了二階導(dǎo)及三階導(dǎo)（拐點(diǎn)的判斷）的應(yīng)用，還有企業(yè)的成本曲線等等.物理中的很多也涉及數(shù)學(xué).把導(dǎo)數(shù)引入經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)領(lǐng)域，使這些領(lǐng)域研究的對象從常量進(jìn)入變量，使運(yùn)動學(xué)、辯證法進(jìn)入了各個領(lǐng)域，這在科學(xué)的發(fā)展史上具有重要的意義.

本文利用Mathematica作符號演算來完成導(dǎo)數(shù)運(yùn)用，用數(shù)學(xué)表達(dá)式形式給出解.用戶利用公式處理系統(tǒng)，快速準(zhǔn)確地完成公式推導(dǎo)，進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的加工處理.總之，應(yīng)用的目的是讓人們體會到導(dǎo)數(shù)方法在研究某些問題中的一般性和有效性，感受到微積分的價值和作用.

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