評(píng)判與決策類典型問題探析

劉余猛

【摘要】評(píng)判與決策類問題是常見的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，這類問題的解決依賴于技術(shù)性數(shù)據(jù).通過探究隨機(jī)變量的概率分布及隨機(jī)變量的數(shù)字特征等是解決問題的關(guān)鍵.

【關(guān)鍵詞】評(píng)判與決策；概率分布；數(shù)字特征；時(shí)間因素

評(píng)判與決策類問題是常見的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，依賴于技術(shù)性數(shù)據(jù)，其一般步驟是：1.建立數(shù)學(xué)模型；2.解模得到關(guān)鍵技術(shù)性數(shù)據(jù)；3.由數(shù)據(jù)作出評(píng)判或決策返回實(shí)際問題.

引入隨機(jī)變量之后，隨機(jī)事件可通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來，從而把隨機(jī)事件代數(shù)化，進(jìn)而建立隨機(jī)變量的分布函數(shù)，再得到隨機(jī)變量的數(shù)字特征，逐步用數(shù)據(jù)來描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，幫助我們發(fā)現(xiàn)隨機(jī)事件發(fā)生的內(nèi)在規(guī)律性，為我們解決實(shí)際問題提供評(píng)判和決策的依據(jù).本文希望通過幾個(gè)典型問題加以分析，說明解決決策問題時(shí)建模、解模中的常規(guī)方法和應(yīng)該注意的相關(guān)因素.

一、構(gòu)建適當(dāng)數(shù)學(xué)模型

決策問題乃優(yōu)化問題，決策的依據(jù)是相關(guān)技術(shù)性數(shù)據(jù)，故建立函數(shù)模型仍最為常見.首先建立期望與相關(guān)隨機(jī)變量的函數(shù)模型；再解模；最后作出決策.

案例1 （組織貨源量-連續(xù)型）設(shè)國際貴金屬市場每年對(duì)我國鉭的需求量是隨機(jī)變量X（單位：噸），X服從U（100，200），每銷售1噸的鉭，可為國家賺取外匯60萬美元，若銷售不出去，則每噸需貯存費(fèi)20萬美元，問每年組織多少噸鉭，才能使國家收益最大.

簡析 1.根據(jù)分布的相似性，可就不同日訂貨量80筐、90筐、100筐、110筐，分別估算月利潤的期望值；

2.比較各月利潤期望，取最大值情形，從而作出決策.

注 1.涉及離散型隨機(jī)變量，常建立孤立點(diǎn)函數(shù)，涉及連續(xù)型隨機(jī)變量，常建立分段連續(xù)函數(shù)，再求此函數(shù)的最值；2.當(dāng)然還有其他的數(shù)學(xué)模型，如：假設(shè)檢驗(yàn)、線性規(guī)劃等等.

二、正確判斷概率分布類型

隨機(jī)變量的分布具有其內(nèi)在規(guī)律性，正確判定隨機(jī)變量的概率分布模型與選取恰當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)是作出正確評(píng)判和決策的關(guān)鍵.

案例2 （評(píng)選安全先進(jìn)單位）某化工園區(qū)在安全管理評(píng)比中，有兩家企業(yè)在其他方面得分相同，不同的是，A企業(yè)有1000人發(fā)生事故5起，乙企業(yè)有200人發(fā)生事故1起，兩家的事故率相同，都在系統(tǒng)的平均范圍之內(nèi)，那么如何確定誰是先進(jìn)呢？按事故數(shù)少而評(píng)乙企為先進(jìn)，但甲企業(yè)不服，其理由是發(fā)生事故率相同究竟如何評(píng)呢？

分析 1.這里應(yīng)注意判定在人數(shù)很多的情況下，隨機(jī)變量發(fā)生事故數(shù)X的概率分布模型是什么，再看甲企發(fā)生5起事故的概率P（X=5）與乙企發(fā)生1起事故的概率P（X=1）的大小來下結(jié)論.

三、選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)字特征

數(shù)學(xué)期望反映的是隨機(jī)變量的總體平均水平，它是判斷或決策類問題的主要技術(shù)數(shù)據(jù)，是首先要考慮的內(nèi)容；方差反映的是隨機(jī)變量的波動(dòng)大小或集中度的技術(shù)數(shù)據(jù)，是輔助性的數(shù)據(jù)，在期望相同的情況下，再看方差的大小，作相應(yīng)決策.

案例3 9有獎(jiǎng)促銷廣告內(nèi)容是否有欺詐問題，太湖啤酒廠開展秋季啤酒促銷活動(dòng)，價(jià)格不變，在促銷啤酒的瓶蓋內(nèi)各印有“暢飲太湖水”五個(gè)字中的一個(gè)字，規(guī)定顧客只要收集到一套“暢”“飲”“太”“湖”“水”五字的瓶蓋，即可免費(fèi)領(lǐng)取1瓶普通太湖水啤酒.在公證處，公證的內(nèi)容中說：在100萬瓶蓋內(nèi)印有“暢”“飲”“太”“湖”“水”的啤酒各20萬瓶.由此廠方在銷售廣告中除了說明有獎(jiǎng)銷售的辦法，還加了一句吸人眼球的廣告語“本次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)中獎(jiǎng)率高，平均買10瓶即可獲獎(jiǎng)一次”，問這句促銷廣告語是否有欺詐，公證處會(huì)否批準(zhǔn).

分析 1.設(shè)X為收集一套“暢”“飲”“太”“湖”“水”五字的瓶蓋所需購買的啤酒的瓶數(shù)，我們要考察E（X）是否不大于6.

四、考慮時(shí)間的潛在價(jià)值因素

時(shí)間就是金錢，有了充足的時(shí)間，往往可以降低成本，這是容易被人忽視的因素.

案例4 （最佳分段采購策略）某工廠須在四周內(nèi)采購到10萬噸鐵礦石，估計(jì)鐵礦石每噸價(jià)格為200元的概率為0.2，300元的概率為0.55，400元的概率為0.25，試制定分階段采購策略，使采購價(jià)格的期望最小.

故最優(yōu)采購材料為第一周價(jià)格低于265元就采購否則不采購，第二周價(jià)格低于281元就采購否則不采購，第三周價(jià)格低于305元就采購，否則不采購，第四周價(jià)格無論什么價(jià)格都采購.這樣，采購價(jià)格期望是252元，是最佳方案.

注 這里要從最后時(shí)間向前倒推的方法去分段探究解決.

以上用實(shí)例說明在解決評(píng)判與決策類問題中，應(yīng)該重視的數(shù)學(xué)模型、數(shù)據(jù)，突出了數(shù)學(xué)期望的重要作用.說明了實(shí)際問題中應(yīng)考慮時(shí)間因素及處理方法，這些都是解決評(píng)判與決策類問題中最重要的方法和值得注意的因素.

【參考文獻(xiàn)】

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