淺析納什均衡中的數學理論

熊傳霞

摘 要：納什均衡NEP在眾多領域，尤其是經濟、社會科學、工程等各個方面都有所應用。近些年來，隨著實際中應用的需要，對于納什均衡的研究逐漸轉向廣義納什均衡問題GNEP。一些領域中出現了各種廣義納什均衡的特殊數值模型，例如：工程學、道路交通、電力系統等，并得到了直接且有效的應用。該文介紹了納什均衡在數學中的運用，并對概率納什均衡的計算進行了討論。

關鍵詞：納什平衡 博弈論 算法

中圖分類號：TP301 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）02（c）-0158-02

1 博弈論與納什均衡的發展

博弈論，它的形成背景來自于經濟學理論中關于經濟行為沖突的量化和行為推斷。隨著各個領域中對博弈系統的運用，人們逐漸發現：博弈論的應用可以趨于更多元化，除了經濟學家們將博弈論在經濟領域的應用，還有更多的學科和領域可以運用博弈論以及相關知識和思維，最相關聯的就是數學和計算機領域，目前階段，許多數學和計算機專業的科學家已經針對博弈論與數學之間的基本理論和數學描述結合相關聯系展開了研究。

納什均衡是著名博弈論專家納什提出的，也是他對博弈論做出的重要貢獻，即是非合作博弈論均衡，是博弈論當中的重要術語。納什均衡是指這樣一種均衡，在這一均衡中，每個參與人都確信在給定其他參與人戰略的情況下他選擇了最優戰略以回應對手的戰略。零和博弈相對來說很好描述，因為博弈兩方一般來說是一勝一負，納什想進行的研究是兩人以上的研究。而在傳統的數學問題中，常見的方法一般是由一個定理出發、尋找出一個解決方案，而納什不這樣，他把目光轉向過程的分析。他從數學的角度，將交易得到成功的條件改變為雙方都滿意，從根本上改變看待問題的方式，即對于交易對立面的兩方看來都可利益最大化的一種解決方式。在廣泛的博弈論語言當中，納什證明，參與博弈中的每個人都有一個特定的方案，用于對抗其他參與者采取的策略。基于這種意義上，博弈可以達到一種平衡，現在稱為“納什均衡”。納什從數學上證明了，存在這樣一個必然的平衡，從而使博弈論應用到了更多現實的經濟情景中。

2 廣義納什均衡

比較傳統的納什均衡問題，每個參與者的可使用策略是一個固定不變的集，不受其他參與者所選策略的影響，但隨著實際應用的發展，之前納什平衡理論在應用過程中有了局限性，經過推廣，提出了針對實際應用的問題-廣義納什均衡問題，在此理論當中，每個參與者策略的所選范圍不再是固定集合，而是根據其余參與者所選的策略決定。基于這個理論，在數學中的模型有：以Nikaido-Isoda函數為基礎的松弛算法，ODE算法，牛頓法，罰函數法，以及其轉化形成的擬變分不等式和進一步求解的算法。

3 納什平衡的存在與穩定性

關于納什平衡的穩定性這一問題，要分情況討論，例如：在混合博弈也叫作概型博弈中的納什平衡是恒存在的，但在另一種情況下，純博弈中，納什平衡的存在就有多種可能性，不一定存在。對一個純博弈系統進行分析來看，從一個純博弈系統中可以誘導出一個概型博弈系統。但依據一種自然的想法來判斷的話，純博弈系統中的納什平衡不存在這種現象。于是研究重點可以放在怎樣從概型博弈系統的納什平衡中找到一個決定純博弈系統中近似納什平衡的因素。由于關于納什平衡存在性的判定問題，有了一系列相關的納什平衡判定問題（Nash Equilibrium Problem），舉例而言：首先，給出一個純博弈系統G=（A，T，{S 1， ，S n }），要判定的問題為：此系統G=（A，T，{S 1， ，S n }）中是否存在一個納什平衡。將此問題進行分析，可以看到，對于關于納什平衡判定這一類型的問題，我們的關注點應集中于在何種充分條件下，納什平衡的存在性是一定的。

同時，納什平衡的多重性也一直是一個令各個專家感到十分棘手的問題。有的情況下，平衡點不止一個，甚至可能有無窮多個的可能性，這種情況是在實際問題中無法真正達到的。因此，針對這一問題，正在尋求一種更合理而且可以得到認可的機制來選擇平衡并進行精煉，這一項目也是非合作博弈論系統中一直需要解決的問題。

在對于納什均衡研究最活躍的領域內，改進和精練平衡的機制和方法一直在尋找當中，其中包括：1994年Harsanyi和Selten獲得諾貝爾獎的成果“子博弈精煉納什平衡”，以及2002年根據策略集的擾動與策略有關的思想從策略空間到策略集擾動之間建立了函數關系的n人有限非合作博弈CKM擾動的概念。

4 納什平衡（如果存在）的有效算法及計算復雜性

4.1 離散概型博弈系統

在上文中，提到混合博弈，它其中的納什平衡是恒存在的。它是在純博弈系統的基礎上，考慮在策略集上引入一個概率分布，接下來引入離散概型博弈，也就是通常所稱的混合博弈。而將它稱為離散概型博弈主要是因為其中所引入的概率分布。將此博弈系統進行討論分析，可以看到：從形式上將策略先擇用引入的概率分布代替策略先擇，用引入的概率分布表示支付。將所給定的有限集Δ={e1，em}看作一個有限的離散樣本空間，那么一組非負數μ={p1，pm}稱為有限集上的一個概率分布，那么如果m∑pk=1，可記為Prμ[ei]=pi，為了不混淆，可簡記為：Prμ[ei]=pi。

值得慶幸的是：任意給定一個離散概型博弈，概型納什平衡的恒存在性不會變，這一點可運用不動點定理相關知識進行證明。

4.2 概率納什平衡計算

首先納什平衡中有兩部分，為“純戰略納什均衡”和“混合戰略納什均衡”。

純戰略是指在比賽中將完整的賽局定義提供給玩家。在比賽中純戰略決定在所有任何一種情況下要做出的戰略移動。而戰略集合其實就是由玩家能所有夠施行的純戰略所組成的集合。而混合戰略具有更多的隨機性，它是對每個純戰略分配一個機率而形成的戰略。在混合戰略的比賽中，允許玩家隨機選擇一個純戰略。由于這樣的隨機性所以混合戰略博弈均衡中要用概率分布計算，在某一情況下達到某一概率時，從而可以實現支付最優。同時機率是連續的，所以即使戰略集合的數量是有限的，但產生的混合戰略是無限多的，用數學語言表示為：對于一般的μ1=（p1，1p1）、μ2=（p2，1p2）（0≤p1，p2≤1），有：v1（μ1，μ2）=μ1[C1]gv1（C1；μ2）+μ1[F1]gv1（F1；μ2）=p1（2p2+（1p2）*0） （+1p1）（2p21）=p12p21。

5 結語

該文在第一部分首先給出了博弈論與納什均衡的發展，從納什均衡存在與穩定性的基本知識與博弈系統的形式概念描述，混合博弈的實質為，在純博弈系統框架下在策略集上為基礎，進一步引入概率分布的概念。對于納什均衡中數學理論的結合，進行了基本的引例和分析，以及對于其中各種數學理論和數學分析，展現了其穩定性和多重性的復雜性。正是每個參與者之間的不合作性，才可以表現出分布之間策略的獨立性。這一概念可以幫助理解各個博弈系統之間的聯系，并且結合概率論相關知識在博弈論中各個方面的應用。以及對其中一個典型的概型博弈系統的納什平衡的性質及其計算方法作了進一步的探討和研究。目前來看，關于廣義納什平衡問題算法的研究雖然也有很多，但其中主要的思路基本為轉化為一些極小化問題，再運用已知結果進行轉化，然而這些算法基本上都具有一些局限性，由于各種過強的附加條件，很多原系統的問題無法滿足，即使如此，在GNEP的道路上，依然期待有更好的發展前景。

參考文獻

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