均勻帶電球面和載流柱面上場強的計算

田寶國 宿德志 李慧

摘 要：對于均勻帶電球面上一點的電場強度和無限長均勻載流柱面上一點的磁感強度問題，無法采用教材中常用的靜電場高斯定理和磁場安培環路定理求解，該文分別用電場和磁場疊加原理進行了求解，得到了該問題的具體表達式。

關鍵詞：均勻帶電球面 均勻載流柱面 高斯定理 安培環路定理 疊加原理

中圖分類號：O411 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）02（c）-0159-02

在求解均勻帶電球面上電場強度分布時，一般都是通過靜電場的高斯定理求解，但是對于理想的均勻帶電球面來講，這種方法只能求出球面內部和外部的電場強度分布，而對于球面上一點的場強，由于無法確定高斯面內電荷分布而無法利用高斯定理求解，對兩邊取極限的方法也無法求出，有些教材只指出在球面上場強值不連續或有一突變[1，2]，但并沒給出具體值。同樣，在求解無限長均勻載流柱面磁感應強度分布時，一般都是磁場安培環路定理求解，而對柱面上一點的磁感應強度，這種方法也同樣由于無法確定環路包圍的電流強度大小而無法求解，該文對這兩個問題分別采用場疊加原理進行了計算。

1 均勻帶電球面上一點的電場強度

圖1為一半徑為的均勻帶電球面，帶電量為，根據電場的高斯定理，可求得球面內外的電場強度分布為[3]：

該結論并沒有給出球面上任一點（即）處的電場強度，原因在于對理想的均勻帶電球面，利用高斯定理求解該位置處電場強度時，無法確定高斯面內包圍的電荷量。該問題可通過疊加原理進行求解。為求球面上任一點點的電場強度，建立圖示的坐標系，并將球面分割為無數多個半徑不同的無限窄的環帶，在坐標處、取高度為的環帶如圖1所示，環帶面元面積為：

所帶電量為：

根據帶電圓環軸線上一點的場強公式可得所取環帶在點的電場強度大小。

由于各環帶在點產生的電場強度方向均沿軸正方向，所以整個球面在點產生的電場強度為：

利用幾何關系及可得點總場強：

與球面內外場強分布比較可知，該處場強發生了一突變。

2 無限長均勻載流柱面上一點的磁感強度

圖1所示示為一半徑為、電流沿軸向均勻分布的無限長圓柱面的截面圖，總電流強度為，根據磁場的安培環路定理，可得柱面內外的磁感強度分布為[3]：

為求柱面上任一點點的電場強度，建立圖1所示的坐標系，且將柱面分割為無數多條截面為圓弧的無限長直線，在圖示截面θ處取所對圓心角為θ的無限長直線，點到直線的距離為，所取直線中流過的電流強度大小為：

根據無限長載流直線空間磁感應強度分布公式可知，該直線在點產生的磁感應強度方向如圖2，大小為：

根據幾何關系可得：

通過電流分布的對稱性分析可知，點磁感應強度無徑向分量，因此，只需對B的切向、即圖中的方向進行積分，B的方向分量為：

根據幾何關系和可得

故：

因此，根據磁場疊加原理可得柱面上任一點點的磁感強度大小為：

方向沿切向。與面內面外磁感強度分布比較可知，該處磁感強度也發生了一突變。

3 結語

該文分別通過電場和磁場的疊加原理，求解了均勻帶電球面和無限長均勻載流柱面上任一點的電場強度和磁感應強度，豐富補充了教材結論，使學生對這類問題中面內、面上、面外的場分布有了整體認識。另外也可以通過該方法求出均勻帶電球體和無限長均勻載流柱體上表面上任一點的電場和磁場分布，在此不再給出具體過程，通過求解結果發現，這兩類問題的空間電場分布和磁場分布都是連續分布，不會在面上發生突變。

參考文獻

[1] 梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學[M].北京：高等教學出版社，2004：21-22.

[2] 張三慧.大學基礎物理學[M].北京：清華大學出版社，2003：349-350.

[3] 馬文蔚，周雨青.物理學[M].6版.北京：高等教學出版社，2014：179-180.