借助空間基本圖形提升學生空間想象能力

黃春霜

摘 要：空間想象能力是數(shù)學學習尤其是高中立體幾何學習中要求學生重點掌握的數(shù)學能力之一.幫助學生提升空間想象能力，將使學生在高考立體幾何部分的考查中更加得心應手.

關鍵詞：基本圖形；空間想象能力；內在關系；轉化與化歸

學生的觀察能力、推理論證能力、空間想象能力和直觀感知能力等能力的培養(yǎng)與立體幾何教學有著很密切的聯(lián)系.借助幾種空間基本圖形為載體，引導學生發(fā)現(xiàn)不同幾何體之間的內在聯(lián)系.通過闡述如何借助常見的空間基本圖形作為幾何載體，幫助學生樹立空間建構意識，提升學生空間想象思維，將復雜問題有效轉化與化歸為基本問題，達到提高立體幾何有效學習的目的.

1 以正方體或長方體為載體，進行空間建構

正方體和長方體作為基本圖形載體，學生從小學已開始接觸，并不陌生.另外在我們的生活中也不乏是正方體、長方體的模型.若能把新研究的幾何圖形巧妙放入正方體或長方體這個載體中來研究往往能取得事半功倍的效果.

例1 在四面體ABCD中，三組對棱棱長分別相等且依次為 、、5，求此四面體ABCD外接球的半徑.

解析：外接球即球心到各個頂點的距離相等.通過作圖幫助分析，發(fā)現(xiàn)若采用常規(guī)做法去求解則很難完成.由于條件中出現(xiàn)三組對棱棱長分別相等，思考可將此四面體放進一個長方體中，以這三組對棱為長方體的面對角線構造長方體，借助長方體這個學生非常熟悉的數(shù)學模型，問題便可迎刃而解.設長方體三邊長分別為a、b、c，則

點評：本題將特殊四面體和球聯(lián)系在一起，考查學生的空間思維能力，同時學生的轉化與化歸能力也在解題中得以體現(xiàn).通過分析題意準確抓住問題本質，學生的空間想象在所構造或回歸的基本圖形中得以形象化、具體化.學生利用已經(jīng)固化在腦海中的基本圖形，進行合理分析，有了基本圖形后，打開了學生的思維，讓學生熟悉抓住問題本質，運用構造法實現(xiàn)輕松解決問題，也有利于幾何直觀與空間想象能力的培養(yǎng).

2 以墻角型幾何體為載體，進行空間建構

墻角型幾何體即存在共點三條兩兩垂直的棱的三棱錐.由于特殊的垂直關系剛好與長方體吻合，處理這類幾何體的內切、外接問題，往往將其補成長方體，借助長方體特征來幫助解題.

例2 已知三棱錐S-ABC的三條側棱兩兩垂直，且SA=2，SB=SC=4，若點P到S、A、B、C這四個點的距離都是同一個值，求這個值.

解析：通過作圖分析可對三棱錐S-ABC進行補體，將其補成各棱長為2，4，4的長方體，這樣長方體體對角線的中點即其外接球球心，與點P重合.故答案為3.

點評：長方體是“課程標準”強調的建立空間概念的載體之一，通過對長方體的截割，可以得到多種多樣的柱體、錐體、臺體……，在實際問題中通過細心觀察，發(fā)現(xiàn)某些幾何體與長方體的密切聯(lián)系，并實現(xiàn)兩者之間的轉化與化歸，有利于培養(yǎng)學生的空間想象能力.

類比推理是根據(jù)兩個或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理，其在數(shù)學教學中應用廣泛[1 ].對于墻角型幾何體由于其特殊的垂直關系，我們可將其與直角三角形作如下類比：

3 以四個面都是直角三角形的三棱錐為載體，進行空間建構

點評：本題考查立體幾何的折展問題并求幾何體的體積以及常規(guī)的線面垂直的證明.訓練學生尋找展開圖與立體圖形中變與不變的量，特別是關注折展過程中垂直平行關系是否改變，為立體幾何的證明提供可行性依據(jù)，培養(yǎng)學生的空間想象能力.另外，在求其外接球相關問題時又巧妙地將其補全成長方體，問題迎刃而解.

4 以正四面體為載體，進行空間建構

正四面體是僅次于正方體、長方體以外學生非常熟悉的一個基本圖形。如圖6所示，若正四面體A-BCD的棱長為 a，由正四面體的對稱性和球的對稱性知該四面體外接球球心與內切球球心必重合于點O，且O在正四面體的高AG上（G為△BCD的重心）.可求得正四面體 A-BCD外接球半徑為OA=a；內切球半徑為OG=a；高為AG=a.

例4 如果一個正四面體的體積為9立方分米，求其表面積S的值.

點評：關于正四面體與球的一些相關數(shù)據(jù)，若能記住并積累些小結論，將使做題達到事半功倍的效果.另外由于正四面體的良好對稱性，其重心、四條高的交點、外接球球心、內切球球心共點，此點稱為中心.常借助其與正方體的關系，進行適當?shù)摹案睢迸c“補”建立起兩者的聯(lián)系，從而簡化解題過程.

總之，基于對立體幾何基本圖形的探究與思考，在實際問題中通過恰當構造模型，讓學生的空間想象得以具體化、形象化，并借助其輔助教學與解題顯得尤為重要.在多種立體圖形中，正方體、長方體、球體三者作為優(yōu)美幾何體的典型代表，成為我們研究幾何問題中最常見也是最為重要的幾何模型.實踐表明，注重立體幾何基本圖形的學習與研究，巧妙的補形、合理的轉化與化歸將大大提升學生的圖形處理能力，往往能使復雜問題簡單化，促進學生對立體幾何的整體理解與把握 [2 ].

參考文獻：

[1]盧蕓蓉.類比推理及其在論證中的應用研究[D].湘潭：湘潭大學， 2007.

[2]胡寅年，李文旺.以基本圖形為載體 增強立體幾何復習的有效性[J].中學數(shù)學，2011（7）：51-54.