不等關系與相等關系其實是統一的

劉帥　孔凡哲

與方程一樣，不等式也是表達現實世界數量關系的一種數學表現形式，是反映客觀事物變化規律及其關系的數學模型。

不等式（組）是“數與代數”領域的重要內容之

，具有承上啟下的作用，它上承一元一次方程、二元一次方程組，下接一次函數等內容，不等關系與相等關系其實是統一的，二者不僅都是刻畫數量關系的有效模型，而且可以互相轉化。

一.體會現實世界中的不等關系

在大千世界中，量與量之間的關系是由相等關系和不等關系構成的，在方程的學習中，我們學會了用相等關系解決生活、工作巾的諸多問題，其實，小等關系也是刻畫現實世界中的數量關系的有效模型，不同的是，相等關系刻畫的是“靜態的數量關系”，不等關系刻畫的是“動態的數量關系”。

下面，讓我們來看看交通中常見的不等關系。

限速，如同l（1），該圖標的意思是速度不可越過10km/h，即V≤10km/h；如圖l（2），該圖標的意思是速度不可低于50km/h，即V≥50km/h.

限高，如圖1（3），該圖標的意思是車的總高度不可超過3m即h≤3m，

限重，如圖1（4），該圖標為電梯的標識牌，表示此電梯的載重量不可超過l000kg，即G≤1000kg，人數不可以超過15，即N≤15。

在限速120km/h的高速公路上，按照規定正常行駛的汽車，其行駛速度儀存一些時刻等于120km/h，而在更多的時刻是不等于120km/h的，也就是說，等于120km/h是靜態的、短暫的，而不等于120km/h是動態的、持久的.

不僅交通中存在大量不等關系，生活中的許多方面，諸如食品安全、購物、建筑等，也存在著大量不等關系。

建議你在課余時間，與同學一起去觀察、發現，并且可以用簡單的不等式將小等關系表示出來！

二.不等關系與相等關系的統一性

不等關系與相等關系是普遍存在的，不等關系與相等關系具有內在的必然聯系，也可以說是統一的。

對于典型的不等關系a>b，如果我們設c=a-b，那么，不等關系a>b就與相等關系a=b+c等價，其中，c是一個正數，

更進一步說，a>b等價于“存在一個正數c，使得a=b+c”，a≥b等價于“存在一個非負數c，使得a=b+c”

利用上面的等價關系，可以輕松地將不等關系轉化為相等關系，

例如，對于“如果a>b，那么，對于數c，有a+c>b+c”，可以這樣證明：

如果存在一個正數d，使得a=b+d，那么，對于數c，有a+c=b+d+c=（b+c）+d，這意味著，存在一個正數d，使得a+c等于b+c與d的和，從而，a+c>b+c，

三.在建立不等式過程中進一步體會建模思想

購物是我們在現實生活中不可或缺的活動之一，為了吸引更多人到商場購物，賣家經常會設計各種各樣的促銷活動，究竟哪種方案最優惠呢？我們一起用不等式模型來分析一下！

例某商店5月1日舉行促銷優惠活動，當天到該商店購買商品有兩種方案，

方案1：用168元購買會員卡成為會員后，憑會員卡購買商店內任何商品，一律按商品價格的八折優惠。

方案2：若不購買會員卡，則購買商店內任何商品。一律按商品價格的九五折優惠，

已知小敏5月1日前不是該商店的會員，

（1）若小敏不購買會員卡，所購買商品的價格為120元時，實際應支付多少元？

（2）請幫小敏算一算，所購買商品的價格在什么范圍內時，采用方案l更合算？

解析：（1）120×0.95=114（元），

（2）第一，發現問題中的不等關系，方案1所花錢數不高于方案2所花錢數。

第二，用不等式表達不等關系，

購買商品的價格×方案1的折扣<購買商品的價格×方案2的折扣，

第三，用符號語言表達不等關系，

第四，用含有未知數的不等式表達不等關系，

設購買商品的價格為x元，由題意得：

0.8x+168<0.95x，

將0.8x移項并與0.95x合并，得O.15x>168。將未知數的系數化為l，得x>l120，

所以，當購買商品的價格超過l120元時，采用方案1更合算，

經歷了上面的分析過程，相信你會利用不等式這一數學模型解決優惠方案這類問題了，今后遇到類似的問題時，要注意選擇最優惠的方案喲！