也談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想

孫政

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）明確指出，通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能“獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本思想是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)，數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵十分豐富，主要包括抽象的思想、推理的思想、建模的思想等。其中數(shù)形結(jié)合思想是由“抽象的思想”派生出來的，在平時(shí)教學(xué)中若巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，能有效防止學(xué)生進(jìn)行“機(jī)械學(xué)習(xí)”，能夠很好地促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的意義建構(gòu)。下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)剶?shù)形結(jié)合的思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決中的應(yīng)用。

一、數(shù)形結(jié)合，形象展示數(shù)學(xué)方法

1.數(shù)形結(jié)合，直觀展示公式的推導(dǎo)過程

每一種數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)，都體現(xiàn)出某種數(shù)學(xué)思想方法，教學(xué)中必須揭示推導(dǎo)公式過程中隱含的數(shù)學(xué)思想和方法，指出它的名稱、內(nèi)容和規(guī)律，并有意識(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練。數(shù)形結(jié)合為公式的推導(dǎo)展示了最為直觀的過程。

例如，在教學(xué)《乘法分配律》時(shí)，通過長方形面積及其長、寬的相應(yīng)變化直觀展示出來，圖1中長方形的長是a，寬是b，面積是ab；圖2長是a，寬是c，面積是ac；圖3中大長方形面積為ab+ac=a（b+c）。

通過這種數(shù)形結(jié)合的方式呈現(xiàn)乘法分配律公式ab+ac=a（b+c），能有效地幫助學(xué)生加深對(duì)“數(shù)”的知識(shí)的理解和掌握，體現(xiàn)圖形的直觀優(yōu)勢(shì)。更重要的是，在學(xué)生體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的好處的同時(shí)，可以適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生理解和體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的統(tǒng)一與和諧，發(fā)現(xiàn)和感受數(shù)學(xué)之美，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，有效提高學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.數(shù)形結(jié)合，直觀展示簡便的運(yùn)算過程

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，計(jì)算占了相當(dāng)大的比重。計(jì)算教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生理解算理，也就是計(jì)算方法的道理，學(xué)生如果不明白道理，是不可能學(xué)好計(jì)算的。在教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)以清晰的理論指導(dǎo)學(xué)生理解算理，正所謂：“知其然，知其所以然。”數(shù)形結(jié)合，是幫助學(xué)生正確理解算理的一種很好的方式。

學(xué)生這樣算會(huì)產(chǎn)生“計(jì)算過程有些復(fù)雜”的直接體驗(yàn)，萌發(fā)尋找簡便算法的心向。在此基礎(chǔ)上，啟發(fā)他們大膽地畫正方形，把正方形看作單位“1”（如圖4），把算式中的加數(shù)填入下圖，直觀看出空白部分占整個(gè)圖形面積的，這樣就可以把分?jǐn)?shù)連加題轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡單的一步分?jǐn)?shù)計(jì)算這個(gè)過程不僅能使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到轉(zhuǎn)化的方法可以使問題化繁為簡、化難為易，而且能初步體會(huì)到用直觀的“形”表示抽象的“式”，使抽象、內(nèi)隱的數(shù)學(xué)關(guān)系變得更加明朗、清晰。

3.數(shù)形結(jié)合，直觀展示算理的分析過程

數(shù)形結(jié)合是溝通學(xué)生形象思維和抽象思維的橋梁。在算理分析時(shí)，教師要適時(shí)借助直觀圖、操作學(xué)具等方法，幫助學(xué)生理清算理，正確掌握數(shù)學(xué)方法，做到“循理入法，以理馭法”。巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，算理分析會(huì)顯得生動(dòng)活潑、多姿多彩。

在這里，充分利用方格圖，關(guān)鍵看剩下的牛奶，這樣就能把數(shù)量關(guān)系與圖形巧妙地結(jié)合在一起。

4.數(shù)形結(jié)合，直觀展示數(shù)的大小比較過程

數(shù)軸是建立數(shù)與點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，使抽象的數(shù)變得有“形”可依。借助數(shù)軸比較數(shù)的大小，既生動(dòng)直觀，也便于找出比較數(shù)的大小的方法。

例如，教材中認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)的練習(xí)：先填一填，再在直線上描點(diǎn)表示-2和-4，這兩個(gè)數(shù)哪個(gè)更接近0呢？

通過讓學(xué)生填一填、描一描，感受數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為發(fā)展學(xué)生數(shù)感提供豐富經(jīng)驗(yàn)。接著讓學(xué)生觀察數(shù)軸上從左向右各點(diǎn)表示的數(shù)，得出數(shù)軸上表示的數(shù)，向右數(shù)越來越大，向左數(shù)越來越小，右邊數(shù)大于左邊數(shù)，也就是負(fù)數(shù)<0<正數(shù)。最后，讓學(xué)生比較數(shù)軸上表示-2和-4的點(diǎn)與0的距離。在比較兩個(gè)負(fù)數(shù)大小時(shí)，與0距離越小，這個(gè)數(shù)就越大，也就得出-2與-4相比，-2更接近0。

借助數(shù)軸不僅能準(zhǔn)確判斷出數(shù)的大小，有時(shí)還能比較出大數(shù)與小數(shù)的差，為學(xué)生建立數(shù)感提供幫助。

二、數(shù)形結(jié)合，優(yōu)化解決問題的策略

1.由數(shù)解形——從抽象到具體

根據(jù)數(shù)學(xué)問題中“數(shù)”的結(jié)合特征構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用幾何圖形的特征、規(guī)律來研究解決問題的策略，可以把抽象的知識(shí)具體化，也易于展示問題的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生更加容易理解。

例如：長方形ABCD周長40厘米，分別把它的長和寬延長5厘米，那么它的面積增加多少平方厘米？

根據(jù)題意，周長40厘米的長方形ABCD（如圖8）。分別把長方形的長AB和寬AD延長5厘米（如圖9）。

從圖9中可以看出，增加的面積就是圖中的陰影部分面積，增加部分的面積用分割的方法可分為S1、S2、S3三個(gè)部分，這樣通過計(jì)算得出增加部分的面積是S1+S2+S3=AD×5+AB×5+55=（AD+AB）×5+25=40÷2×5+25=125（平方厘米）。

這樣通過問題解決，學(xué)生可以體會(huì)代數(shù)與幾何圖形之間的聯(lián)系，在解決問題的過程中讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，獲得一些研究問題和解決問題的經(jīng)驗(yàn)和方法。

2.借形思數(shù)——從圖形到直觀

有關(guān)解決問題的策略的題目，可以通過畫圖理清數(shù)量之間的關(guān)系，最終通過圖形關(guān)系實(shí)現(xiàn)推理解答問題。

例如：外國語實(shí)驗(yàn)小學(xué)舉行小學(xué)生足球比賽，有4支隊(duì)參加，分別是紅隊(duì)、黃隊(duì)、綠隊(duì)和藍(lán)隊(duì)。每2支球隊(duì)比賽一場(chǎng)，一共要比賽多少場(chǎng)？

分析：每2支球隊(duì)比賽一場(chǎng)，是指任意2支球隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，既不能多，也不能少。分析時(shí)嘗試讓學(xué)生畫圖思考，先用4個(gè)點(diǎn)表示4支球隊(duì)；再用每2點(diǎn)之間的連線表示球隊(duì)之間所進(jìn)行的的比賽，連線6條，就有6場(chǎng)比賽。（如圖10）

數(shù)學(xué)活動(dòng)里的畫圖和推理，歸根到底都是計(jì)算。推理是抽象的計(jì)算，計(jì)算是具體的推理，而圖形是推理的直觀模型。

3.數(shù)形兼容——從繁雜到簡易

在文字表述的應(yīng)用題中數(shù)量關(guān)系復(fù)雜時(shí)，采用韋恩圖能很好地幫助學(xué)生理清數(shù)量之間的關(guān)系，從而明確解題思路，進(jìn)而找出解題方法。

例如：某班有學(xué)生45人，參加演講比賽的有16人，參加書法比賽的有14人。如果這兩種比賽都沒有參加的有20人，那么同時(shí)參加演講、書法這兩種比賽的有多少人？

分析：由題意畫出韋恩圖（如圖11）：

由圖可知，參加比賽的人數(shù)為45-20=25（人），而參加演講比賽的人數(shù)+參加書法比賽的人數(shù)為16+14=30（人）。30人比25人多，這是因?yàn)橛胁糠秩思葏⒓恿搜葜v比賽，又參加了書法比賽，這部分人重復(fù)計(jì)數(shù)了，所以同時(shí)參加演講、書法兩種比賽的人數(shù)（圖中陰影部分）為30-25=5（人）。

實(shí)踐證明，數(shù)形結(jié)合是溝通實(shí)際問題與數(shù)學(xué)算式之間的重要橋梁，對(duì)學(xué)生解決問題具有顯著的促進(jìn)作用。另外，還應(yīng)注意，數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法不是萬能妙藥，需要適時(shí)進(jìn)行抽象的數(shù)學(xué)邏輯思維訓(xùn)練，提高學(xué)生的思維品質(zhì)。

綜上所述，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要從數(shù)學(xué)發(fā)展的全局著眼，從具體的教學(xué)過程著手，有目的、有計(jì)劃地滲透數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)形結(jié)合思想，并使之成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題的工具，這是我們數(shù)學(xué)教學(xué)著力追求的目標(biāo)。筆者希望，通過數(shù)形結(jié)合的思想方法，為學(xué)生解決問題提供一條坦途，讓學(xué)生因此而更加熱愛數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。