高中數學必修教材“概率”部分的比較研究

☉西北師范大學教育學院甘肅酒泉第四中學徐玉慶

高中數學必修教材“概率”部分的比較研究

☉西北師范大學教育學院甘肅酒泉第四中學徐玉慶

概率是高中數學的重要內容，是培養學生數據處理能力和應用意識的重要載體.本文以人教A版必修教材和北師大版必修教材為例，利用內容分析法對兩個版本中“概率”部分進行分析和比較，發現不同版本的教材對于知識點的講解各有側重，對于例題和習題的設計也各有風格.通過教材的深入比較，也為教材的審定和編寫提供建議.

高中數學；內容分析；教材比較；概率

一、引言

隨著《基礎教育課程改革綱要（試行）》的頒布，我國的基礎教育課程改革正式拉開了帷幕.教材作為課程改革的核心內容，是課程理念和課程目標的關鍵性載體，是教師開展教學活動和學生學習的重要工具，是實現教學目的的主要手段.“教材編寫是課程改革成功實施的重要環節”［1］.眾所周知，教材由原來的“一綱一本”變為了現在的“一標多本”.然而不同的編寫人員對課程標準有著不同的理解，所以即便是以同一標準作為指導理念編寫出來的教材也存在很多的不同之處.所謂他山之石，可以攻玉.作為教育工作者，通過教材比較來了解不同版本教材的差異和優缺點，以便在教學過程中能夠高屋建瓴、舉重若輕就顯得尤為重要.

概率是高中數學的重要內容，是培養學生數據處理能力和應用意識的重要載體.《普通高中數學課程標準（實驗）》明確提出：隨機現象在日常生活中隨處可見，概率是研究隨機現象規律的學科，它為人們認識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的辦法，同時為統計學的發展提供了理論基礎.因此，概率的基礎知識已經成為一個未來公民的必備知識.［2］為此，本研究通過對當前適用范圍較廣、影響力較大的兩套教材——人民教育出版社出版的《普通高中課程標準實驗教科書數學（A版）》（后簡稱“人教A版”）和北京師范大學出版社出版的《普通高中課程標準實驗教科書數學》（后簡稱“北師大版”）中必修部分“概率”內容的比較，以小見大，以期對一線教師和地方各級教育部門在教材的選擇和使用上提供一定的幫助.

二、文獻綜述

目前，國內外有眾多文獻研究高中數學“概率”.這些研究主要從以下幾個方面展開：其一，從教材編排的結構的角度，主要研究“概率”與其他知識點在內容結構上的銜接問題；其二，從教材中數學史的角度，主要從“概率”的發展歷史、引入方式、呈現視角、信息載體、數學故事的角度展開研究；其三，從例題和習題的難易程度的角度，主要利用史寧中和鮑建生建立的難度模型對例題和習題進行比較；其四，從學生理解的角度，主要研究“概率”概念和公式的理解和推導.目前，教材比較中以內容分析法的文獻并不是很多，研究者對另個版本中“概率”部分通過內容分析法和難度模型比較法進行分析.

三、研究方法

臺灣學者歐用生認為，內容分析法就是透過量化的技巧以及質性的分析，以客觀及系統的態度，對文本內容進行研究與分析，借以推論產生該項內容的環境背景及其意義的一種研究方法.對于教材內容的分析與研究，依教材內容的范圍區分大致可分為三類：以某一教育概念為主軸，對相關學科的教材內容進行分析；對單一學科教材的內容進行分析；對單一學科教材的內容中某一重要主題之內容進行分析.本文通過對兩個版本“概率”部分的主要內容、主要欄目、主要概念的呈現方式、例習題的數量、類型、難度方面進行具體的分析.

四、研究結果

（一）主要內容比較

教材中的主要內容是指在整個章節中起支撐作用的知識.人教A版和北師大版高中必修教材“概率”部分內容均在必修3的第三章，都是以前面所學的統計知識為鋪墊的.下面通過表格（見表1）來分析比較兩版本教材必修部分中概率一章的主要內容：

表1：主要內容的比較

由表1不難發現：人教A版在這部分的知識處理上較詳盡完備，這表明人教A版更加注重知識點的系統性和整體性，北師大版在知識點的處理上也較完備.兩個版本在知識點含量上存在不同，人教A版所含的概念和定理比較多，同時拓展的知識點也相對較多，例如，決策中的概率，天氣預報中的概率，遺傳機理中的概率.這些內容都和我們的現實生活緊密聯系，同時也為學習物理、化學、生物學科更好地服務；而北師大版所含的知識容量相對較少.編排理念上基本相同，都是先給出概率的定義，然后是概率在現實生活的具體實例，最后是古典概型和幾何概型.兩個版本必修部分的“概率”主體內容基本相同，都包含了“隨機事件的概率”、“古典概型”、“幾何概型”這三大塊的內容，并且其中都涉及了大量與生活實際緊密聯系的例子，這樣可以很好地激發學生的學習興趣，增強學生學好數學的信心，同時兩版本的教材都體現了信息技術在課堂中的應用，如均勻隨機數的產生.但在細微之處還是存在些許差別.比如北師大版中的“幾何概型”并沒有像人教A版那樣在“古典概型”的基礎上比較直接地給出，而是在第三節“模擬方法——概率的應用”這一節中作為概率的一個應用——求不規則圖形的近似面積而引出“幾何概型”的，這一概念引入方式的不同實則是因為相比之下人教A版教材更注重按照邏輯順序展開教學，教材普遍采用“逐級遞進，螺旋上升”的做法，而北師大版教材更注重采用遵循人的認知發展規律來組織教學.又如，人教A版教材在編寫的過程中滲透了數學史的知識——孟德爾的簡介、貝努利的簡介和蒙特卡羅方法的簡介，這有助于學生初步了解數學產生與發展的過程，體會數學對人類文明發展的作用，提高學習數學的興趣，加深對數學的理解，感受數學家的嚴謹態度和鍥而不舍的探索精神［5］，這恰恰體現了新課標對學生的要求.兩個版本的教材都注重知識和現實生活的聯系，通過現實生活中真實事件發生的概率解釋概率的使用性，這充分展示了課程標準中“讓學生學有用的數學”的理念，而不是單一的呈現概率的概念和定義.通過比較兩個版本的知識結構如圖1所示.

圖1“概率”的內容結構圖

（二）主要欄目比較

教材欄目的設置反映了教材編寫的特色，決定著教材的結構以及教材內容的呈現方式.現將兩版本教材必修部分“概率”內容中的欄目設置比較如下（見表2）：

表2：主要欄目維度

從表2我們可以清晰地看到：北師大版教材的欄目設置要比人教A版的欄目設置更為豐富，并且給人的感覺是層次分明，層層深入，尤其是“抽象概括”這一欄目清楚地羅列了每節課的重點，更易使讀者把握核心知識點；北師大版教材中“動手實踐”和“探究活動”欄目的設置可以充分地培養學生的動手能力，激發學生的學習興趣，北師大版的本章小結也比人教A版的章小結更為細致全面，它不僅列出了關鍵知識點，而且列出了學習要求和需要注意的問題，這對教師的教和學生的學是大有裨益的.北師大版“閱讀理解”欄目中所引用的數據都通過注釋標注出了數據來源，這體現了數學的嚴謹性以及數據來源的權威性.個人感覺北師大版教材在欄目設置上略勝一籌.不過人教A版教材也有值得借鑒的地方，教材129頁上面的注釋提到了不要用生日來作為銀行卡密碼，這一提醒會讓讀者倍感溫馨，體現了教材編寫的人性化.

（三）主要概念導入方式的比較

數學概念的導入方式有兩種，分別是概念同化和概念形成.概念同化是指以定義的形式給出概念，由學生主動地與自己認知結構中原有的有關概念相互聯系、相互作用以領會它的意義，從而獲得新概念，這種獲得概念的方式叫做概念同化.概念形成是指通過對概念所反映的事物的不同例子中，讓學生積極主動地去發現其本質屬性，從而形成新概念，這種獲得概念的方式叫做概念形成.［6］

北師大版高中數學教材必修3概率一章一共有五個主要概念，分別是“概率”、“互斥事件”、“古典概型”和“幾何概型”，它們在教材里均是按照概念形成的方式呈現的.人教A版高中數學教材必修3概率一章共包含9個主要概念，分別是“必然事件”、“不可能事件”、“隨機事件”、“頻數”、“頻率”、“概率”、“基本事件”、“古典概型”、“幾何概型”，這9個概念都是采用了概念同化的方法給出，例如：頻數與頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數為事件A出現的頻數；稱事件A出現的比例為事件A出現的頻率.（頻率=頻數÷樣本總數）.人教A版更加注重概率概念的形成過程，注重初高中知識的銜接，學生已經在初中學習了隨機事件、必然事件和不可能事件，但是初高中學生的認知水平并不形同，所以在這里重新給出嚴格的定義是有必要的，有助于學生理解概率的定義.概念的導入方式采用概念形成好，還是采用概念同化好，這要看學生的理解水平.其實概念形成對應的思維方式是歸納法，而概念同化則對應的是演繹法，前者更接近于人類自發形成概念的方法，后者是一定水平的人在已有概念的基礎上學習新概念的主要方式.因此，在教授此部分教學內容的過程中，教師要充分了解自己學生的認知水平，采用適合他們的概念教學方法.

（四）例題與習題的比較與分析

1.課內例題習題的綜合難度比較

根據鮑建生建立的難度模型，我們計算出如表2所示的一組題目綜合難度，在這里我們將例題和習題統稱為“習題”處理，對于一個題目中出現的多個問題，我們按多個題目處理.

兩種教材“概率”習題難度的加權平均

探究背景運算推理知識含量綜合難度人教A版2 . 1 0 1 . 3 1 3 . 0 1 2 . 1 0 1 . 9 8 1 0 . 5 0北師大版2 . 1 3 1 . 3 6 3 . 0 2 1 . 9 5 1 . 8 7 1 0 . 3 3

由此我們得到了人教版和北師大版教材“習題”的綜合難度的五邊形模型：

從圖中可以看出，人教版教材在“推理”、“知識含量”上難度較大，北師大版在“探究”、“運算”上難度較大，北師大版在“背景”、“運算”兩個維度較人教版教材的難度高，兩個版本的教材的綜合難度相差并不是很大，人教A版教材的難度比北師大版教材高0.17，這和人教A版教材的編排方式是一致的.

2.問題形式及數量比較

人教A版教材習題的類型有：選擇、填空、解答、舉例、試驗、計算、判斷，北師大版教材習題的類型有：舉例、解答、判斷、計算，在習題類型設置方面，人教A版比北師大版顯得更為豐富，北師大版教材的習題主要以計算題為主，這主要是因為此部分內容在考試中主要以計算題的形式存在.相對于人教A版教材而言，北師大版教材中的每道計算題設置的問法更加全面，這可以使學生更好地區分每種情況之間的不同，更透徹地理解教材中的知識點.

人教A版必修教材“概率”部分共有10道例題52道習題，北師大版必修教材此部分的共有8道例題64道習題.通過以上數據我們發現北師大版教材的例、習題在數量上略高于人教A版，這可能就是導致北師大版必修教材“概率”部分內容占整個北師大版必修教材的比重（約為7.53%）略高于人教A版相應部分內容占整個人教A版必修教材的比重（約為6.27%）的原因.

五、啟示

通過以上比較我們發現北師大版教材相對于人教A版教材而言因為其欄目設置清晰，知識點明確，這將更